О существе математических доказательств
Дж. Коэн 100
Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чём говорим и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. Следовательно, и остальные учёные в большинстве своём не знают, о чём говорят и истина ли то, что они говорят.
Таким образом, одна из главных функций математического доказательства — создание надёжной основы для проникновения в суть вещей.
Аристотель относится к числу первых философов, занявшихся изучением математических доказательств. Он изобрёл силлогизм — приспособление, которое в силу своей абсолютной бесполезности привлекало внимание бесчисленного множества логиков и философов. Силлогизм состоит из первой посылки, второй посылки и заключения. Логики только и делают, что приходят к заключениям. Просто чудо, что они до сих пор не обошли всё кругом и не пришли туда, откуда вышли.
В первой посылке заключается истина, относящаяся к целому классу вещей, например: «Не все посылки верны». Во второй посылке утверждается, что интересующая нас вещь принадлежит к этому классу, например: «Последние четыре слова предыдущего предложения являются посылкой». Таким образом, мы приходим к заключению: «Не всегда верно, что не все посылки верны». Такова всеобъемлющая полнота, с которой логика обобщает явления повседневной жизни.
Опираясь на математические доказательства, учёные сумели соединить дотоле разрозненные области, термодинамику и технику связи, в новую дисциплину — теорию информации. «Информация», научным образом определённая, пропорциональна удивлению: чем удивительнее сообщение, тем больше информации оно содержит. Если, подняв телефонную трубку, человек услышит «алло», это его не очень удивит; значительно больше будет информация, если его вместо «алло» внезапно ударит током.
Колоссальные новые возможности открылись перед математическими доказательствами с развитием теории множеств в конце прошлого столетия и начале нынешнего. Автор сам недавно открыл одну теорему в теории множеств, которая заслуживает того, чтобы её здесь привести.
Теорема.Множество, единственным элементом которого является множество, может быть изоморфно множеству, единственным элементом которого является множество, все элементы которого образуют подгруппу элементов в множестве, которое является единственным элементом множества, с которым оно изоморфно.
Эту интуитивно очевидную теорему можно окольным путём вывести из теоремы об изоморфизме в теории групп.
Рассмотрим теперь логические системы. От простого набора теорем логическая система отличается так же, как готовое здание от груды кирпичей: в логической системе каждая последующая теорема опирается на предыдущую. Пойа отмечал, что заслуга Евклида состояла не в коллекционировании геометрических фактов, а в их логическом упорядочении. Если бы он просто свалил их в кучу, то прославился бы не больше, чем автор любого учебника по математике для средней школы.
Чтобы проиллюстрировать способы математических доказательств, мы приведём пример развёрнутой логической системы.
Лемма 1.Все лошади имеют одинаковую масть (докажем по индукции).
Доказательство.Очевидно, что одна лошадь имеет одинаковую масть. Обозначим черезP(k) предположение, чтоkлошадей имеют одинаковую масть, и покажем, что из такого предположения вытекает, чтоk+ 1 лошадей имеют ту же масть. Возьмём множество, состоящее изk+ 1 лошадей, и удалим из него одну лошадь, тогда оставшиесяkлошадей по предположению имеют одинаковую масть. Вернём удалённую лошадь в множество, а вместо неё удалим другую. Получится снова табун изkлошадей. Согласно предположению, все они одной масти. Так мы переберём всеk+ 1 множеств, в каждом поkлошадей. Отсюда следует, что все лошади одной масти, т. е. предположение, чтоP(k) влечёт за собойP(k+ 1). Но ранее мы уже показали, что предположениеР(1) выполняется всегда, значит,Рсправедливо для любогоkи все лошади имеют одинаковую масть.
Следствие I.Все предметы имеют одинаковую окраску.
Доказательство.В доказательстве леммы 1 никак не используется конкретная природа рассматриваемых объектов. Поэтому в утверждений «еслиХ —лошадь, то всеХимеют одинаковую окраску» можно заменить «лошадь» на «нечто» и тем самым доказать следствие. (Можно, кстати, заменить «нечто» на «ничто» без нарушения справедливости утверждения, но этого мы доказывать не будем.)
Следствие II.Все предметы белого цвета.
Доказательство.Если утверждение справедливо для всехX, то при подстановке любого конкретногоХоно сохраняет свою справедливость. В частности, еслиХ —слон, то все слоны одинакового цвета. Аксиоматически достоверным является существование белых слонов (см. Марк Твен, Похищение белого слона). Следовательно, все слоны белого цвета. Тогда из следствия I вытекает следствие II, что и требовалось доказать!
Теорема.Александр Великий не существовал.
Доказательство.Заметим для начала, что историки, очевидно, всегда говорят правду (поскольку они всегда ручаются за свои слова и поэтому, следовательно, не могут лгать). Отсюда исторически достоверным является утверждение: «Если Александр Великий существовал, то он ездил на вороном коне, которого звали Буцефал». Но, согласно следствию II, все предметы белые, и Александр не мог ездить на вороном коне. Поэтому для справедливости высказанного выше условного исторического утверждения необходимо, чтобы условие нарушалось. Следовательно, Александр Великий в действительности не существовал.
Из этого краткого обзора, посвящённого математическим доказательствам, не следует делать вывод, что всё уже доказано. Приведём два примера недоказанных теорем. Первый — это знаменитая гипотеза Голдбрика из теории чисел, которая утверждает, что каждое простое число можно представить в виде суммы двух чётных чисел. Этого нехитрого утверждения никто до сих пор не опроверг, но, несмотря на многовековые усилия математиков, никто и не доказал. Второй пример известен, хотя бы в интуитивной форме, всему цивилизованному миру. Это знаменитый первый закон Чизхолма: «Всё, что может испортиться, — портится».101
- Юрий Конобеев, Виталий Павлинчук, Николай Работнов, Владимир Турчин
- К читателям
- От составителей (Вместо предисловия)
- Почти всерьёз в разделе:
- Физика как наука и искусство Из выступления на собрании посвящённом 20‑летию со дня основания Американского института физики
- — • • • —
- Прошлое и будущее теории поля в теоретической модели, основанной на экспериментальных наблюдениях, достоверных с точностью до одного стандартного отклонения.
- — • • • —
- Как мы измеряли реактивность
- — • • • —
- Частицы и физики
- — • • • —
- К квантовой теории абсолютного нуля температуры
- — • • • —
- Движение нижней челюсти у крупного рогатого скота в процессе пережёвывания пищи
- — • • • —
- — • • • —
- Земля как управляемый космический корабль Речь на банкете, состоявшемся после конференции по физике плазмы, организованной Американским физическим обществом в ноябре 1961 года в Колорадо‑Спрингс
- Баллада об астронавте
- — • • • —
- Раскрась сам Пособие по физике высоких энергий
- Послеобеденные замечания о природе нейтрона Речь при закрытии Антверпенской конференции 1965 г.
- — • • • —
- Анализ современной музыки с использованием волновых функций гармонического осциллятора
- Полезные советы в разделе:
- Как писать научные статьи
- Введение
- Некоторые соображения о мотивах, побуждающих к написанию статьи
- Советы по оформлению рукописей
- — • • • —
- — • • • —
- — • • • —
- Приготовление кофе в научно‑исследовательских учреждениях
- — • • • —
- Как выступать на заседании американского физического общества
- — • • • —
- Советы университетским профессорам
- Антистандартизация (Творческое изобретательство)
- Комиссии
- Умение приспосабливаться к обстановке
- Техника обслуживания
- Каналы информации
- — • • • —
- Советы экзаменатору
- — • • • —
- Математизация
- Что такое математизация?
- Типографские фокусы
- Стратегия секретных символов
- «Следовательно»
- Инструкции для авторов
- Оформление рукописи
- — • • • —
- Инструкция для читателя научных статей
- Введение
- Описание экспериментальной методики
- Изложение результатов
- Обсуждение результатов
- Благодарности
- — • • • —
- Административная физика в разделе:
- Как Ньютон открыл закон всемирного тяготения
- — • • • —
- Принципы научного администрирования
- — • • • —
- Прогресс в управлении наукой Обозреватель.
- — • • • —
- Эффект Чизхолма
- — • • • —
- Среднее время, которое учёный отдаёт работе
- — • • • —
- Закон Мэрфи
- О пользе безделья
- Пять принципов
- — • • • —
- О стандартизации статей
- 1. Стандарт тн/п1
- 2. Стандарт ф/т 3
- Доклад специальной комиссии
- — • • • —
- Отчёты, которые я читал … и, возможно, писал
- 1. Загадочный отчёт
- 2. Отчёт типа «Повторите, пожалуйста, ещё раз»
- 3. Отчёт типа «Пропала мысль»
- 4. Маскирующие отчёты
- — • • • —
- Основные закономерности научной работы
- Исповедь инженера‑акустика
- — • • • —
- О профессиональных предубеждениях
- — • • • —
- Типология в научном исследовании
- Перечень типовых экзаменационных вопросов для аспирантов‑физиков
- 6. Релятивистская квантовая теория поля.
- — • • • —
- Personalia в разделе:
- Предисловие к 1‑му тому «The Journal of Jocular Physics»
- — • • • —
- Моё посвящение
- — • • • —
- Новая сказка о любопытном Слонёнке
- — • • • —
- Атом, который построил Бор
- — • • • —
- Ключ к системе ключей (Длинное письмо в редакцию)
- — • • • —
- Введение в теорию s—матрицы рассматриваемую главным образом с точки зрения приложений к описанию жизни физиков и прежде всего учитывающую характерные для таких систем статистические закономерности.
- — • • • —
- О возможности создания электростанций на угле
- К 50‑летию Рудольфа Пайерлса
- — • • • —
- П.А.У.Л.И. И его применение (Получено в июле 1932 года, частично рассекречено в июле 1951 года)
- Шутят не только физики в разделе:
- Закон Паркинсона в научных исследованиях
- — • • • —
- Как машина с машиной
- Учёный язык
- — • • • —
- О существе математических доказательств
- — • • • —
- Пример:
- § 2. Методы теоретической физики
- § 3. Методы экспериментальной физики
- — • • • —
- Сага о новом гормоне
- О вреде огурцов (Упражнение в сравнительной логике и математической статистике)
- — • • • —
- Проникновение мегамолекулярных организмов через стеклянные и металлические фильтры
- — • • • —
- Б. Подбор оппонентов
- В. Защита диссертации
- — • • • —
- Чем заняты физики?
- Квантовая теория танца Речь, произнесённая на вечере в Ленинградском физико‑техническом институте
- — • • • —
- Застольная физическая (мифИческая)
- «Гинус» даёт советы Умейте быть докладчиком!
- Умейте слушать!
- — • • • —
- Где проводить совещания
- — • • • —
- Как работает физик‑теоретик
- — • • • —
- Умейте выступать!
- Литературно‑физические пародии Пародия на газетную статью о науке
- Микромир среди лесов
- Вакуумный прибор
- Архитектурные ритмы
- Из топи веков
- Страх и ужас, или кому татор, а кому лятор
- Ковариантность и любовь
- — • • • —
- О том, как писать об учёных вообще и о молодых физиках в частности
- Возраст, внешний вид и повадки
- Досуг. Широта интересов
- Фразеология
- Выражение восторга по поводу открытия, и как оно делается
- — • • • —