2. Сферическая геометрия

Как известно, фигуры, лежащие на плоскости, изучает плоская геометрия. Разумно было бы предположить, что может существовать и другая геометрия, которая изучает фигуры на сфере. Эта геометрия называлась сферическая.

Согласно античной модели мироздания, звёзды и планеты располагаются на нескольких сферах с общим центром, в котором находится Земля.

При этом звёзды неподвижны и как бы "прибиты" к своей сфере и вращаются вместе с ней вокруг Земли, а планеты на собственных сферах выписывают замысловатые фигуры - ведь само слово "планета" в переводе с греческого означает "блуждающая".

С помощью такой геоцентрической модели древние научились достаточно точно описывать и предсказывать движения планет. Это было необходимо, например, в мореплавании, да и во всех областях "земной" деятельности человека, где надо учитывать, что под ногами у нас шар, а не плоский блин на трёх китах. При изучении закономерностей вращения небесных светил возникли разнообразные математические задачи, связанные со свойствами сферы и фигур, которые образуют на ней большие окружности.

Поскольку сфера находится в обычном трёхмерном евклидовом пространстве, теоремы сферической геометрии можно понимать как обыкновенные стереометрические. Поэтому в сферической геометрии не видели "другую планиметрию", и она не привела к ниспровержению устоявшихся взглядов подобно геометрии Лобачевского. Между тем, если присмотреться к сфере внимательнее - а для этого подойдёт обыкновенный глобус, - легко обнаружить немало удивительного.

Возьмите нить и натяните её между двумя пунктами на глобусе. Она пройдёт по кратчайшей линии на сфере, соединяющей эти пункты и укажет, в частности, наилучший маршрут дл самолёта. Экватор является одной из больших окружностей сферы, т. е. окружностей наибольшего радиуса. Они образуются при пересечении сферы её диаметральными, проходящими через центр, плоскостями. Из других линий на глобусе кроме экватора большие окружности образуют так же меридианы.

Именно большим окружностям и отводится роль прямых в сферической геометрии. Как правило, через две точки на сфере, как и на плоскости, можно провести только одну сферическую прямую. Исключение составляют диаметрально противоположные точки: например, через полюсы на глобусе проходит бесконечно много меридианов. Но в отличие от обычной геометрии любые две сферические прямые пересекаются в двух диаметрально противоположных точках - на сфере отсутствует само понятие параллельности.

Другое существенное отличие прямой на сфере от прямой на плоскости заключается в том, что сферическая прямая замкнута: двигаясь по ней всё время в одну сторону, мы в конце концов вернёмся в исходную точку: точка не разбивает сферическую прямую на две части, подобные лучам обычной прямой.

Треугольник на сфере может иметь сразу три прямых угла, если, например, он ограничен двумя перпендикулярными меридианами и экватором.

Давайте познакомимся с понятиями и фактами сферической геометрии. При этом мы будем постоянно сравнивать их с фактами обычной геометрии.

Итак, прямыми на сфере считаются большие окружности. Если две точки А и В принадлежат большой окружности, то длина меньшей из её двух луг, соединяющих эти точки, принимается за сферическое расстояние между А и В. Саму меньшую дугу естественно считать сферическим отрезком АВ. диаметрально противоположные точки соединены бесконечным числом сферических отрезков - больших полуокружностей.

Сферическое расстояние АВ выражается через радианную меру а центрального угла АОВ и радиус сферы R: по известной формуле для длины дуги, оно равно Rа.

Если принять радиус сферы за единицу длины, то сферическое расстояние окажется равным угловой величине а соответствующей дуги. Любая точка С сферического отрезка АВ разбивает его на два, и сумма их сферических длин, как и в планиметрии, равна длине всего отрезка, или уголАОС + уголСОВ = уголАОВ. А для любой точки D вне отрезка имеет место "сферическое неравенство треугольника": сумма сферических расстояний от D до А и от D до В больше АВ, или уголАОD + уголDОВ >уголАОВ. Здесь существует полное соответствие между сферической и плоской геометриями. Неравенство треугольника - одно из основополагающих свойств в геометрии на сфере. Именно благодаря ему, точно так же как и в планиметрии, сферический отрезок короче любой сферической ломаной, а значит, и любой кривой на сфере, соединяющей его концы.

Вслед за определением сферического расстояния на сферу переносят и почти все понятия плоской геометрии, потому что их можно выразить через расстояния на плоскости. Например, сферическая окружность - это множество точек сферы, удалённых на определённое сферическое расстояние р от заданной точки Р.

Сферических центров у неё сразу два - Р и Р'; их принято называть её полюсами. На глобусе Северный и Южный полюсы служат общими "сферическими центрами" всех параллелей. Если "радиус" р равен число"пи"/2, то сферическая окружность превращается в сферическую прямую; в этом случае её называют полярой каждой из точек Р и Р'.

Важнейшее понятие геометрии, прямо связанное с расстоянием, - равенство фигур: две фигуры считаются равными, если одну из них можно отобразить на другую так, что при этом сохранятся расстояния между точками. На плоскости одну из двух равных фигур всегда можно наложить на другую: либо передвигая фигуры по плоскости, тогда они называются собственно равными, либо вырезая одну из них из плоскости и переворачивая на другую сторону - в таком случае они зеркально-равны. На сфере собственно равные фигуры всегда совмещаются вращением одной из них вокруг некоторой оси.

Однако зеркально-равные фигуры, например симметричные относительно диаметральной плоскости, совместить невозможно, как невозможно совместить правую и левую перчатки.

Определим теперь углы на сфере. Рассмотрим две сферические прямые а и b.

Они разбивают сферу на четыре двуугольника подобно тому, как пересекающиеся прямые на плоскости разбивают её на четыре плоских угла. Каждому из двуугольников отвечает один из двугранных углов, образуемых диаметральными плоскостями, содержащими а и b. Величиной этого двугранного угла и измеряется, по определению, угол при вершине двуугольника. А угол между сферическими прямыми равен меньшему из углов образуемых ими двуугольников.

Обратите внимание на соответствие, возникающее между понятиями в геометрии на сфере и в стереометрии. Каждой точке сферы сопоставляется луч, проведённый в неё из центра О сферы, а любой фигуре на сфере - объединение всех пересекающих её лучей с общим началом в О. Так, сферической прямой отвечает содержащая её диаметральная плоскость, сферическому отрезку - плоский угол, двуугольнику - двугранный угол, сферической окружности - коническая поверхность, ось которой проходит через полюсы окружности. Равным сферическим фигурам соответствуют равные фигуры из лучей, движениям сферы - движения пространства, переводящие сферу в себя. Геометрические величины тоже находят себе пары: например, длина сферического отрезка - величина соответствующего плоского угла. Рассмотрим многогранный угол с верши ной в центре О сферы. Он пересекает сферу по фигуре, называемой сферическим много угольником.

Это область на сфере, ограниченная ломаной из сферических отрезков-дуг. Звенья ломаной - стороны сферического многоугольника. Их длины равны величинам соответствующих плоских углов многогранного угла; угол же многоугольника при произвольной вершине А равен по величине двугранному углу многогранного угла при ребре ОА.

Особый интерес представляет простейший сферический многоугольник - треугольник.

Первым его ввёл в геометрический обиход и исследовал Менелай из Александрии (I в.). Его труд "Сферика" стал вершиной достижений греков в сферической геометрии. Менелай перенёс на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости (см. статью "Треугольник простейший и неисчерпаемый") в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая.

Многие свойства сферического треугольника (а они одновременно являются и свойствами трёхгранных углов) почти дословно повторяют свойства обычного треугольника. Среди них - неравенство треугольника, которое на языке трёхгранных углов гласит, что любой плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других. Или, например, три признака равенства треугольников. Понятно, что все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми на сфере. Так, множество точек, равноудалённых от концов отрезка, будет и на сфере перпендикулярной к нему прямой, проходящей через его середину. А отсюда следует, что серединные перпендикуляры к сторонам сферического треугольника АВС имеют общую точку, точнее, две диаметрально противоположные общие точки Р и Р', являющиеся полюсами его единственной описанной окружности.

В стереометрии это означает, что около любого трёхгранного угла можно описать конус. Легко перенести на сферу и теорему о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.

Теоремы о пересечении высот и медиан тоже остаются верными, но их обычные доказательства в планиметрии прямо или косвенно используют параллельность, которой, как мы знаем, на сфере нет, и потому проще до казать их заново, на языке стереометрии.

Можно привести ещё много примеров сходства двух геометрий, но различия между ними интереснее. Особенно удивительна формула для площади треугольника, впервые опубликованная голландцем А. Жираром в 1629 г. и названная его именем. Согласно этой формуле, площадь треугольника АВС на сфере радиуса 1 равна его угловому избытку, т. е. превышению суммы его углов над суммой углов плоского треугольника:

SABC=угол А + угол В + угол С - число"пи"

Углами сферического треугольника однозначно задаётся не только его площадь, но и он сам как фигура: в сферической геометрии выполняется четвёртый признак равенства треугольников - по трём углам. Таким образом, на сфере не бывает подобных, но не равных треугольников. Более того, в сферической геометрии отсутствует само понятие подобия, потому что не существует преобразований, изменяющих все расстояния в одинаковое (не равное 1) число раз. Эти особенности связаны с нарушением евклидовой аксиомы о параллельных прямых и также присущи геометрии Лобачевского.

Сферическая тригонометрия особенно важна для практического применения. На сфере, как и на плоскости по трем данным элементам треугольника нетрудно вычислить остальные. И конечно, со ответствующие формулы можно рассматривать как зависимости между плоскими и двугранны ми углами трёхгранного угла. Сферическая теорема синусов очень похожа на обычную:

где А, В, С - углы, а а, в, с - сферические длины сторон треугольника АВС. Теорема косинусов, напротив, здесь изменяется до неузнаваемости:

соs а = соs b соs с + sin в sin c соs А, но тоже связывает величины трёх сторон и одного угла. При А ="пи"/2 эта формула превращается в своего рода сферическую "теорему Пифагора":

соs а = соs в соs с.

На сфере справедлива и вторая теорема косинусов. Она связывает величины трёх углов и сторону треугольника:

cos A = - cos В cos C + sin B sin C cos a.

Точно так же из признака равенства треугольников по трём сторонам получается признак по трём углам, а из признака по двум сторонам и углу между ними признак по стороне и двум прилежащим углам. Вообще, из любой теоремы о сферическом треугольнике можно вывести другую, как говорят, двойственную теорему, в которой прямые и точки, расстояния и углы меняются ролями, что верно не только для треугольников. Например, пару двойственных теорем составляют признаки описанного и вписанного четырёхугольников: первый требует равенства сумм противоположных сторон четырёхуголъника, второй - сумм противоположных углов. (Планиметрическая теорема о том, что у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов, на сфере неверна, так как сумма всех четырёх углов заведомо больше 360·.) Однако принцип двойственности, утверждающий, что если одна из двух взаимно двойственных теорем верна, то верна и другая, в сферической геометрии выполняется лишь с некоторыми оговорками и ограничениями. Но можно "склеить" диаметрально противоположные точки сферы и считать их за одну точку. Возникающая в результате такой "склейки" геометрия, называемая эллиптической или геометрией Римана, оказывается значительно более стройной. Например, в ней через любые две точки проходит единственная прямая, любые две прямые пересекаются в одной точке, а принцип двойственности выполняется безоговорочно.

В важности и необходимости изучения сферической геометрии не стоит и сомневаться: сферическая геометрия нужна не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и также строителям шахт, метрополитенов, при геодезических съекмках больших территорий поверхности Земли, когда становится необходимым учитывать ее шарообразность.

Сферическая геометрия также находит широкое применение в практической жизни: это и архитектурные строения, и удобные формы часто используемых объектов, и просто красивые дизайнерские идеи в форме сферического интерьера.