Бесконечно большие величины.

Опр. 1: Переменная , называется бесконечно большой, если для любого, сколь угодно большого, числа существует такой номер , что если

Неравенство (1) равносильно объединению 2-х неравенств: (где– «или»)

по другому:

Опр. 2: Объединения 2-х промежутков , называются -окрестность бесконечности.

Бесконечно большие величины при своём изменении начиная с некоторого номера попадает в окрестность бесконечности и там далее остаётся.

Пример: , если

1)

2)

-2, 4, -8, 16, -32, …

n=1n=2n=3n=4n=5

Будем различать положительные и отрицательные бесконечно большие величины

– положительные б.б.

– отрицательные б.б.

№38. Бесконечно малые функции и их сравнение.

Пусть y=f₁(x) и y=f₂(x) – некоторые две функции, а x стремится к некоторому x₀ (конечному или бесконечному). Если при этом f₁(x)→0 и f₂(x)→0, то есть если

Это значит, что f₂(x) несравненно меньше f₁(x) при x→x₀ (f₂(x) несравненно быстрее, чем , стремится к нулю при x→x₀). В этом случае говорят, что функция f₂(x) является бесконечно малой функцией более высокого (высшего) порядка малости, чем функция f₁(x), при x→x₀. И обозначают этот факт так:

(читается: f₂(x) есть «о малое» от f₁(x) при x→x₀). Суть записи (4.3) состоит, как сказано выше, в том, что бесконечно малая функция f₂(x) является бесконечно малой частью другой бесконечно малой функции f₁(x) при x→x₀.

Вариант 2:

Это значит, что при x→x₀ бесконечно малые функции f₁(x) и f₂(x) практически не отличаются друг от друга. В этом случае говорят, что функция f₂(x) эквивалентна (равносильна) функции f₁(x) при x→x₀ . И обозначается это так:

В этом случае говорят, что бесконечно малые при x→x₀ функции f₁(x) и f₂(x) – одного порядка малости. И записывают этот факт так:

№39. Эквивалентные бесконечно малые.

Если , то– называются эквивалентными бесконечно малыми величинами. Запись:~ – эквивалентно.

№40. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.

Понятие о непрерывности функции описывает непрерывные процессы в округе… Непрерывные функции описывают непрерывные процессы.

Будем обозначать: – приращение аргумента.

–приращение функции.

Опр. 1:Функцияназывается непрерывной в точке, если она определена в окрестности точкии бесконечно малое приращение аргумента соответствует бесконечно малому приращению функции

Под окрестностью точки понимают любую – окрестность этой точки.

Запишем на языке– окрестностей, используя определение предела функции.

Опр. 2:Функцияназывается непрерывной в точке, если она определена в окрестности точкии по любомуможно указать, то при выполнении:следует:

Запишем формулу ещё в другом виде:

позволяет сформулировать следующее определение, равносильное предыдущему.

Опр. 3:Функцияназывается непрерывной в точке, если она определена в окрестности точкии предел функции равен функции предельного значения аргумента.

Для непрерывной функции знаки предела и функции можно поменять местами. Запишем уравнение , употребляя пределы с лева и с права. Заметим, что если существует двусторонний предел, то существует оба односторонних предела и они равны между собой, поэтомуможет быть записана в следующей эквивалентной форме:

Опр. 4:Функцияназывается непрерывной в точке, если она определена в окрестности точки, существуют конечные пределы с лева и с права и выполняется равенство:.

Пределы с лева и справа равны между собой и равны значению функции в точке.

Опр. 5:Функцияназывается непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

№41. Необходимые и достаточные условия непрерывности

Точка называется точкой разрыва функции, если нарушается хотя бы одно из условий определения непрерывности функции; используемопр. 4:

Нарушение: – Условие:

1.

Функция определена в точках, где обращается в ноль.

Эта функция разрывна во всех точках области определения функции, т. к. эти точки изолированы без окрестности.

2. Если пределы с лева и с права не являются конечными