logo
матан шпора

Леммы о бесконечно больших.

ЛЕММА №1:

Величина обратная бесконечно малой есть бесконечно большая величина, и обратно…

ЛЕММА №2:

Произведение бесконечно большой величины на переменную, стремящуюся к конечному пределу отличного от нуля, есть бесконечно большая величина.

№24.  Бесконечный предел.

Условная запись

обозначает, что для любого E > 0 справедливо неравенство:

|f(x)| > E, если только 0 < |x - a| < δ (E) .

два замечательных предела:

1) 

2)

№25.Свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Теорема 3. Сумма сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {xn} и {yn}. Теорема 4. Разность сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {xn} и {yn} Теорема 5. Произведение сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {xn} и {yn}. Лемма 1. Если последовательность {yn} сходится к отличному от нуля пределу b, то, начиная с некоторого номера, определено частное {1yn}  последовательностей {\{}1{\}} и {yn}, которое представляет собой ограниченную последовательность.

Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.

№26. Действия над сходящимися последовательностями

     Последовательности складываются, вычитаются или умножаются путем сложения, вычитания или умножения их соответствующих членов. Если есть две последовательности:

a1, a2, a3, ..., an, ..., {an}

и

b1, b2, b3, ..., bn, ..., {bn},

то получим их сумму в виде

(a1 + b1), (a2 + b2), (a3 + b3), ..., (an + bn), ..., {an} + {bn},

разность в виде

(a1 - b1), (a2 - b2), (a3 - b3), ..., (an - bn), ..., {an} - {bn},

а их произведение в виде

(a1  b1), (a2  b2), (a3  b3), ..., (an  bn), ..., {an}  {bn}.

     Частное от деления двух последовательностей получим как частное от деления членов последовательности {an} на соответствующие члены последовательности {bn} при условии, что в последовательности {bn} нет членов равных нулю.

№27. Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.