Дифференциальные уравнения.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных.
Дифференциальное уравнение можно записать в виде: , где– некоторая функцияпеременных.
Порядок старшей производной называетсяпорядком дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение -го порядка называетсяразрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид: , где некоторая функция от переменной.
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение:
Ответ:
Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется такое его решение, которое является функцией переменнойипроизвольных постоянных.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях.
Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение из предыдущего примера . Тогда общим решением будет
,
а частным решением: или.