Дифференциальные уравнения второго порядка.
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида:
,
где независимая переменная, искомая функция, первая и вторая ее производные.
Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка. Пусть функция и ее частные производныеинепрерывны в некоторой областипространства переменных. Тогда для любой внутренней точкиэтой области существует единственное решение уравненияудовлетворяющее условиям.
Условия называютсяначальными условиями, а задачу отыскания решения уравнения по заданным начальным условиямназываютзадачей Коши.
Пример. Найти решение задачи Коши: .
Решение: Найдем общее решение:
.
Воспользуемся начальными условиями и найдем частное решение:
.
Ответ: решение задачи Коши.
Типы дифференциальных уравнений второго порядка:
Уравнения, допускающие понижение порядка, бывают трех видов:
А) . Для решения используется замена:, тогда, а.
Б) . В этом случае замена имеет вид:, тогда, а.
В) . Замена:. Тогда, а общее решение можно представить в виде:.
Пример. Найти решение уравнения: .
Решение: В нашем случае , следовательно, используем замену:и получим уравнение с разделяющимися переменными
.
Выполняем обратную замену:
.
Ответ: .
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка – это уравнение вида: , где искомая функция, известные непрерывные функции на интервале . Если, то уравнение называетсялинейным однородным дифференциальным уравнением. Если , толинейным неоднородным дифференциальным уравнением.
А) Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: , где вещественные числа.
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет два базисных решения, по которым строится общее решение уравнения. Решения иуравненияназываютсялинейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю , лишь в том случае, когда.
Теорема. Пусть решения иуравнениялинейно независимы на интервале. Тогда функция, гдеи произвольные постоянные, является общим решением однородного уравнения .
Решение уравнения будем искать в виде, где некоторое число. Поставим эту функцию в уравнение и получим . Разделим обе части наи будем иметь это уравнение называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения .
Вид общего решения зависит от того какие корнииимеет характеристическое уравнение.
Теорема. Если корни характеристического уравнения:
вещественные и различные, т.е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид.
вещественные и равны между собой, т.е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид.
комплексные , где, аи вещественные числа, то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид , где.
Во всех трех случаях и произвольные постоянные.
Пример. Найти общее решение: а) ; б); в).
Решение:
а) Характеристическое уравнение имеет вид: . Оно имеет два различных вещественных корня, следовательно.
б) Характеристическое уравнение: . Оно имеет два вещественных корня, равных между собой, тогда общее решение имеет вид.
в) Характеристическое уравнение: . В этом случае, мы имеет комплексные корни, следовательно,.
Ответ: а) ; б);
в) .
Б) Неоднородные уравнения второго порядка – это уравнения вида .
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка состоит из суммы общего решениясоответствующего однородного дифференциального уравненияи некоторого частного решениянеоднородного дифференциального уравнения, т.е..
Вид частного решения зависит от функциии корней характеристического уравнения:
Если , где многочлен степени . Тогда, где многочлен степени в общем виде, а
Если , где заданные действительные числа. Тогда , гдеи неизвестные числа, а .
Пример. Найти решение уравнения: .
Решение: Находим общее решение соответствующего однородного уравнения , которое будет иметь вид:.
Частное решение будем искать виде , тогда,. Подставляем в исходное уравнение:
Следовательно, , а общее решение.
Ответ: .
Пример. Найти решение задачи Коши:
.
Решение: Находим общее решение соответствующего однородного уравнения , которое будет иметь вид:.
Частное решение будем искать виде , тогда,. Подставляем в исходное уравнение:, т.е..
Общее решение уравнения получим в виде: .
Найдем значение констант с помощью заданных начальных условий:
Ответ: .