logo
Дифференциальные уравнения

Типы дифференциальных уравнений первого порядка:

  1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:

или ,

где – непрерывные функции.

Разделив обе части уравнения на , получим уравнение:

,

.

В полученных уравнениях левая часть зависит только от , а правая часть только от, т.е. переменные разделены.

Поскольку дифференциалы равны, то их неопределенные интегралы различаются на постоянную величину. Интегрируя слева по переменной , а справа по переменной, получаем:

или .

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях.

Решение:

.

Ответ: .

Пример. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение:

Ответ: .

  1. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка – это дифференциальные уравнения, в которых функцияявно зависит только от одной переменной:

А) Пусть зависит только от, тогда, откуда получаем:.

Б) Пусть зависит только от, т.е.– это уравнение называетсяавтономным. Откуда получаем: .

  1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид: .

Если , то уравнениеназываетсялинейным однородным уравнением, если , то –линейным неоднородным уравнением.

А) Однородное уравнение – это уравнение, приводящееся к виду: . Подстановкойоднородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение: Воспользуемся подстановкой, приводящей исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, и решим его:

Выполним обратную замену и получим искомое решение:

Ответ: .

Б) Линейное неоднородное дифференциальное уравнение подстановкойсводится к уравнению. Далее требуется, чтобы, тогда из этого уравнения можно найти, а из предыдущего зная, находят. Знаяи, находят.

Для решения неоднородного линейного уравнения также можно использовать метод вариации произвольных постоянных. Этот метод состоит в том, что сначала находят общее решение соответствующего однородного линейного уравнения, т.е. . Затем, полагают в решении однородного уравнениявеличинуищут решение неоднородного уравнения. Для этого подставляют в неоднородное уравнениеи, и из полученного дифференциального уравнения определяют функцию. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение: 1 способ.

Используя подстановку , уравнение примет вид

Приравнивая скобку к нулю, находим :

Зная , можно посчитать:

Ответ: .

2способ. Находим общее решение соответствующего однородного линейного уравнения

Пусть в решении однородного уравнения величина , получим решение неоднородного уравнения

Ответ: .

  1. Уравнение Бернулли – это нелинейное уравнение, которое можно привести к линейному соответствующей заменой неизвестной функции . Уравнение Бернулли имеет вид:, гдеи– непрерывные функции; постоянное число, . Данное уравнение приводится к линейному заменойтогда. Разделим обе части уравнения Бернулли на:. Умножим обе части на:. Переходим к:.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение: Разделим обе части уравнения на и умножим на, получим. Используя замену, наше уравнение примет вид, а это линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Найдем сначала решение однородного уравнения:

Принимаем и находим решение неоднородного уравнения:

Ответ: .

Yandex.RTB R-A-252273-3