Типы дифференциальных уравнений первого порядка:
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:
или ,
где – непрерывные функции.
Разделив обе части уравнения на , получим уравнение:
,
.
В полученных уравнениях левая часть зависит только от , а правая часть только от, т.е. переменные разделены.
Поскольку дифференциалы равны, то их неопределенные интегралы различаются на постоянную величину. Интегрируя слева по переменной , а справа по переменной, получаем:
или .
Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях.
Решение:
.
Ответ: .
Пример. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение:
Ответ: .
Неполные дифференциальные уравнения первого порядка – это дифференциальные уравнения, в которых функцияявно зависит только от одной переменной:
А) Пусть зависит только от, тогда, откуда получаем:.
Б) Пусть зависит только от, т.е.– это уравнение называетсяавтономным. Откуда получаем: .
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид: .
Если , то уравнениеназываетсялинейным однородным уравнением, если , то –линейным неоднородным уравнением.
А) Однородное уравнение – это уравнение, приводящееся к виду: . Подстановкойоднородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение: Воспользуемся подстановкой, приводящей исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, и решим его:
Выполним обратную замену и получим искомое решение:
Ответ: .
Б) Линейное неоднородное дифференциальное уравнение подстановкойсводится к уравнению. Далее требуется, чтобы, тогда из этого уравнения можно найти, а из предыдущего зная, находят. Знаяи, находят.
Для решения неоднородного линейного уравнения также можно использовать метод вариации произвольных постоянных. Этот метод состоит в том, что сначала находят общее решение соответствующего однородного линейного уравнения, т.е. . Затем, полагают в решении однородного уравнениявеличинуищут решение неоднородного уравнения. Для этого подставляют в неоднородное уравнениеи, и из полученного дифференциального уравнения определяют функцию. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
.
Решение: 1 способ.
Используя подстановку , уравнение примет вид
Приравнивая скобку к нулю, находим :
Зная , можно посчитать:
Ответ: .
2способ. Находим общее решение соответствующего однородного линейного уравнения
Пусть в решении однородного уравнения величина , получим решение неоднородного уравнения
Ответ: .
Уравнение Бернулли – это нелинейное уравнение, которое можно привести к линейному соответствующей заменой неизвестной функции . Уравнение Бернулли имеет вид:, гдеи– непрерывные функции; постоянное число, . Данное уравнение приводится к линейному заменойтогда. Разделим обе части уравнения Бернулли на:. Умножим обе части на:. Переходим к:.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение: Разделим обе части уравнения на и умножим на, получим. Используя замену, наше уравнение примет вид, а это линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Найдем сначала решение однородного уравнения:
Принимаем и находим решение неоднородного уравнения:
Ответ: .
Yandex.RTB R-A-252273-3