logo search
algebra Понятие группы

§1. Понятие группы. Группа ортогональных матриц. Группа комплексных корней

п-нной степени из единицы.

О1. Если X - пустое множество, то его степенью Xn для натурального числа n называется множество всех строк (x1, х2,..., хn), составленных из элементов x1, х2,..., хn множества X.

О2. Функция f: X2 —>х называется бинарной алгебраической операцией, если f определена на всех элементах множества X 2.

Бинарную алгебраическую операцию называют либо сложением (аддитивная терминология), либо умножением (мультипликативная терминология).

Пример бинарных операций сложение и умножение целых, рациональных, действительных, комплексных чисел; сложение и умножение матриц. Контрпример - вычитание натуральных чисел, деление целых чисел.

Для обозначения алгебраических операций используют знаки + и *.

О3(мультипликативной группы).

Группой называется непустое множество G, в котором определенна бинарная алгебраическая операция (умножение), удовлетворяющая двум условиям:

1) Ассоциативность - для любых а, b, с из G верно (ab)c=a(bс);

2) Существование единицы. Существует элемент е G такой, что для любого а G имеет место равенство ае=еа=а. Элемент е называется единицей группы.

3) Существование обратного элемента. Для любого а G существует такой элемент b G, что ab = bа= е, где е - единица.

След.1. Единица в группе является единственной.

Док-во. Пусть e1 и е2 - единицы группы G. Т.к. e1 - единица, то e1e2= e2. Так как е2 - единица, то e1e2= e2. Получаем e1= e2.

След.2. Обратный элемент для а G существует только один.

Док-во. Пусть b,с обратны а. Рассмотрим bас. В силу ассоциативности умножение имеет bас=(bа)с=ес=с. С другой стороны, bac= b(ac)=bc=b. Отсюда b=с.

Ввиду единственности обратного элемента для него применяется специальное обозначение а-1.

Примером группы является множество всех невырожденных квадратных матриц (кв. матрица наз. Невырожденной, если ее определитель отличен от нуля) n-ого порядка с операцией умножения. Единицей в группе невырожденных матриц

является единичная матрица

Обратная к данной невырожденной матрице A= является матрицей

A-1= , где Aij=(-1)i+jMij – алгебраические дополнения элемента aij (определитель, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца).

AT= .

Пример матриц показывает, что умножение в группе, вообще говоря, не коммутативно.

О. Группа называется коммутативной или абелевой, если алгебраическая операция коммутативна.

Замечание. Если групповую операцию называют сложением, соответственно вместо a b пишут а+b. Тогда единицу называют нулевым элементом, обратный элемент - противоположным.

Теорема1. Множество ортогональных матриц с операцией умножения является группой.

Д-во. Квадратная матрица А называется ортогональной, если ее обратная матрица совпадает с ее транспонированной матрицей, то есть А-1= АT.

Из условия А-1= АT получим, если А - ортогональная матрица, то ААТ= А А-1=Е или АТА= А-1А =Е.

Т.о., для ортогональной матрицы верно ААТТА=Е.

Проверим, что множество ортогональных матриц - группа.

1. Умножение ортогональных матриц есть алгебраическая операция. Пусть А и В ортогональные матрицы, их произведение обозначим через С, докажем, что С - ортогональная матрица. Рассмотрим следующее:

ССТ=(АВ)*(АВ)Т=(АВ)*(ВТТ)=А(ВВТТ=АЕАТ=

=ААТ

  1. Умножение всех матриц ассоциативно ((АВ)С=А(ВС)), значит, в том числе и ортогональных матриц.

  2. Единичная матрица Е является ортогональной

  3. Т.к. определитель ортогональной матрицы равен ±1, значит, обратная матрица существует.

Покажем, что обратная ортогональной матрице также ортогональна.

Пусть А-ортогональная матрица. Рассмотрим произведение

А-1-1)Т-1Т)Т-1А=Е.

Отсюда А-1-ортогональная матрица.Из пунктов 1,2,3,4 следует, что множество ортогональных матриц является группой.

Теорема2. Множество корней n-ой степени из единицы является абелевой группой n-ого порядка.

Доказательство. Все значения корня n-ой степени из единицы вычисляются по формуле

, где .

Итак, рассмотрим множество комплексных чисел Gn={E0, E1, …,Еn-1} с операцией умножения.

  1. Покажем, что умножение комплексных чисел является алгебраической операцией для нашего множества Gn. Для этого достаточно показать, что Ei* Ej, где i,j= также является корнем n-ой степени из единицы, то есть

(Ei * Ej)n= Ein Ejn =1*1=1

  1. Умножение комплексных чисел ассоциативно.

  2. Единицей группы является Е0=1.

  3. Существование обратного элемента.

Докажем, что Еk-1= En-k. Для этого достаточно показать, что Ek*En-k= Е0.

Значит,Gn-группа,т.к. умножение коммутативно,то группа абелева.Число элементов в группе называется ее порядком.