§4. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений. Ядро линейного оператора и его базис.

Рассмотрим систему линейных однородных уравнений с неизвестными ранга .

Теорема. Множество решений системы (1) является подпространством -мерного арифметического пространства R_n.

Для доказательства теоремы достаточно проверить два свойства:

1. Если и два решения системы (1), то их сумма

также решение этой системы. Для этого подставим этот набор чисел в i-тое уравнение системы (1), где i=l,m, получим:

Значит, является решением системы уравнений (1).

2. Докажем, что произведение любого решения системы (1) на любое число также является решением той же системы уравнений.

Подставим набор чисел в левую часть i-того ур-ния системы (1):

Значит,

является решением системы уравнений (1). Таким образом, мы доказали, что множество решений системы (1) - подпространство R_n.

Опр. Базис подпространства решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной (базисной) системой решений (ФСР).

Как следует из определения базиса, фундаментальная система решений обладает двумя свойствами: решения, составляющие ФСР, линейно независимы, любое решение системы есть линейная комбинация фундаментальной системы решений. Теорема (о ФСР). Если ранг системы линейных однородных уравнений с неизвестными равен , то ФСР состоит из решений.

Опр. Множество векторов линейного пространства, переходящих в нулевой вектор под действием линейного оператора , называется ядром оператора и обозначается как ker .

Теорема. Ядро оператора является подпространством линейного пространства, в котором задан линейный оператор .

Доказательство. Пусть , тогда и . Сложим эти равенства, получим , так как линейный оператор, то в силу линейности , получим , откуда следует, что . Аналогично, из следует, что . В силу линейности , отсюда . Значит, ker - подпространство. Ч.т.д.

Рассмотрим в линейном пространстве базис и оператор , который задается в данном базисе матрицей

А=

Тогда ядро оператора задается уравнением

или системой уравнений:

Фундаментальные решения системы (3) задают базисы ядра оператора , заданого матрицей А.