§1. Понятие группы. Группа ортогональных матриц. Группа комплексных корней

п-нной степени из единицы.

О1. Если X - пустое множество, то его степенью Xⁿ для натурального числа n называется множество всех строк (x₁, х₂,..., х_n), составленных из элементов x₁, х₂,..., х_n множества X.

О2. Функция f: X² —>х называется бинарной алгебраической операцией, если f определена на всех элементах множества X ².

Бинарную алгебраическую операцию называют либо сложением (аддитивная терминология), либо умножением (мультипликативная терминология).

Пример бинарных операций сложение и умножение целых, рациональных, действительных, комплексных чисел; сложение и умножение матриц. Контрпример - вычитание натуральных чисел, деление целых чисел.

Для обозначения алгебраических операций используют знаки + и *.

О3(мультипликативной группы).

Группой называется непустое множество G, в котором определенна бинарная алгебраическая операция (умножение), удовлетворяющая двум условиям:

1) Ассоциативность - для любых а, b, с из G верно (ab)c=a(bс);

2) Существование единицы. Существует элемент е G такой, что для любого а G имеет место равенство ае=еа=а. Элемент е называется единицей группы.

3) Существование обратного элемента. Для любого а G существует такой элемент b G, что ab = bа= е, где е - единица.

След.1. Единица в группе является единственной.

Док-во. Пусть e₁ и е₂ - единицы группы G. Т.к. e₁ - единица, то e₁e₂= e₂. Так как е₂ - единица, то e₁e₂= e₂. Получаем e₁= e₂.

След.2. Обратный элемент для а G существует только один.

Док-во. Пусть b,с обратны а. Рассмотрим bас. В силу ассоциативности умножение имеет bас=(bа)с=ес=с. С другой стороны, bac= b(ac)=bc=b. Отсюда b=с.

Ввиду единственности обратного элемента для него применяется специальное обозначение а^-1.

Примером группы является множество всех невырожденных квадратных матриц (кв. матрица наз. Невырожденной, если ее определитель отличен от нуля) n-ого порядка с операцией умножения. Единицей в группе невырожденных матриц

является единичная матрица

Обратная к данной невырожденной матрице A= является матрицей

A^-1= , где A_ij=(-1)^i+jM_ij – алгебраические дополнения элемента a_ij (определитель, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца).

A^T= .

Пример матриц показывает, что умножение в группе, вообще говоря, не коммутативно.

О. Группа называется коммутативной или абелевой, если алгебраическая операция коммутативна.

Замечание. Если групповую операцию называют сложением, соответственно вместо a b пишут а+b. Тогда единицу называют нулевым элементом, обратный элемент - противоположным.

Теорема1. Множество ортогональных матриц с операцией умножения является группой.

Д-во. Квадратная матрица А называется ортогональной, если ее обратная матрица совпадает с ее транспонированной матрицей, то есть А^-1= А^T.

Из условия А^-1= А^T получим, если А - ортогональная матрица, то АА^Т= А А^-1=Е или А^ТА= А^-1А =Е.

Т.о., для ортогональной матрицы верно АА^Т=А^ТА=Е.

Проверим, что множество ортогональных матриц - группа.

1. Умножение ортогональных матриц есть алгебраическая операция. Пусть А и В ортогональные матрицы, их произведение обозначим через С, докажем, что С - ортогональная матрица. Рассмотрим следующее:

СС^Т=(АВ)*(АВ)^Т=(АВ)*(В^Т*А^Т)=А(ВВ^Т)А^Т=АЕА^Т=

=АА^Т=Е

2. Умножение всех матриц ассоциативно ((АВ)С=А(ВС)), значит, в том числе и ортогональных матриц.

3. Единичная матрица Е является ортогональной

4. Т.к. определитель ортогональной матрицы равен ±1, значит, обратная матрица существует.

Покажем, что обратная ортогональной матрице также ортогональна.

Пусть А-ортогональная матрица. Рассмотрим произведение

А^-1(А^-1)^Т=А^-1(А^Т)^Т=А^-1А=Е.

Отсюда А^-1-ортогональная матрица.Из пунктов 1,2,3,4 следует, что множество ортогональных матриц является группой.

Теорема2. Множество корней n-ой степени из единицы является абелевой группой n-ого порядка.

Доказательство. Все значения корня n-ой степени из единицы вычисляются по формуле

, где .

Итак, рассмотрим множество комплексных чисел G_n={E₀, E₁, …,Е_n-1} с операцией умножения.

1. Покажем, что умножение комплексных чисел является алгебраической операцией для нашего множества G_n. Для этого достаточно показать, что E_i* E_j, где i,j= также является корнем n-ой степени из единицы, то есть

(E_i * E_j)ⁿ= E_iⁿ E_jⁿ =1*1=1

2. Умножение комплексных чисел ассоциативно.

3. Единицей группы является Е₀=1.

4. Существование обратного элемента.

Докажем, что Е_k^-1= E_n-k. Для этого достаточно показать, что E_k*E_n-k⁼ Е₀.

Значит,G_n-группа,т.к. умножение коммутативно,то группа абелева.Число элементов в группе называется ее порядком.