Аксиома связи сложения и умножения.

9. (Дистрибутивность) Для любых х, у, z  Q

(х+у) ^. z = x ^. z+у ^. z

Аксиомы порядка.

Всякие два элемента х, у,  Q вступают в отношение сравнения . При этом выполняются следующие условия:

10. (х у)(у x) x=у

11. (х у) (у z) x z

12. Для любых х, у  Q либо х< у, либо у < x .

Отношение < называется строгим неравенством,

Отношение = называется равенством элементов из Q.

Аксиома связи сложения и порядка.

13. Для любых x, y, z Q, (x  y)  x+z  y+z

Аксиома связи умножения и порядка.

14. (0  x)(0  y)  (0  xy)

Аксиома непрерывности Архимеда.

15. Для любых a > b > 0 существует m  N и n  Q такие, что m  1, n < b и a= mb+n.

Следствие.

Аксиомы множества Q позволяют:

1. Построить систематическую запись рациональных чисел при помощи конечного алфавита (цифровых символов).

2. Определить алгоритмы реализации операций , , :,  в систематической записи рациональных чисел.

4. Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.

Решение задач, имеющих практический интерес, не исчерпывается арифметическими операциями над числами. Рассмотрим следующие две задачи.

Задача 1.

Измерить длину диагонали квадрата, считая, что единица длины есть сторона этого квадрата.

Теорема Пифагора дает результат: искомая длина равна . Предположение о том, что=P/q – рациональное число опровергается известным доказательством от противного. Предположим, что =P/q  p= 2q  p=2k  2q= 4k q = 2m  =p/q.

Заметим, что величина является решением уравненияx-2=0. Действительные рациональные числа, являющиеся решениями алгебраических уравнений

x + ax + … +ax + a = 0 (10)

с целочисленными коэффициентами a Z, k=1, …, n, называются алгебраическими числами. Таким образом, число является алгебраическим числом и является результатом алгебраической операции – извлечения корня.

Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) доказал, см., например, [4], стр. 63, что алгебраические числа являются либо целыми числами, либо не представимы в виде p/q ни для каких целых p, q  Z.