§ 3. Abc-гипотеза для натуральных чисел

Теоретико-числовая abc-проблема формулируется следующим образом: при любом  > 0 существует такая константа K(ε) > 0, что для всех взаимно простых натуральных чисел a, b, c со свойством a + b = c, верно неравенство c  K(ε)·(r(abc))^1+ , где для заданного натурального числа n с каноническим разложением n = символr(n) обозначает выражение p₁ … p_k и называется радикалом числа n (при этом считаем, что r(1) = 1).

Именно в таком довольно неестественном виде эта гипотеза была сформулирована Массером и Остерле в 1986 г. Её значение состоит в том, что в случае её справедливости получаются изящные и короткие доказательства известных трудных теорем теории чисел, в том числе и доказательство Великой теоремы Ферма. Массер и Остерле не сразу сформулировали эту гипотезу. Они работали над много более общей задачей, которая ни в коей мере не элементарна, abc-гипотеза возникла из глубокого изучения алгебраической геометрии и теории модулярных функций.

Примеры: r(24) = r(2³3) = 23 = 6, r(10) = r(25) = 25 = 10, r(2016) = = r(2⁴101) = 2101 = 202.

Ясно, что для любого числа n  N верны неравенства r(n)  n, r(n^m) = = r(n)  n = (n^m)^{1 / m} .

Любую тройку натуральных чисел (a; b; c) со свойствами a + b = c, НОД(a, b) = 1 будем называть abc-тройкой. Нетрудно понять, что условие НОД(a, b) = 1 взаимной простоты чисел a, b равносильно условию взаимной простоты любой пары чисел из abc-тройки. Например, НОД(a, c) = 1 : если D = НОД(a, c), то D | a, D | c и из равенства a + b = c получаем, что D | b , т.к. b = c – a, т.е. D – общий делитель a и b, а значит, D = 1. Таким образом, в определении abc-тройки можно ограничиться условием взаимной простоты НОД(a, b, c) = 1 всех трёх чисел a, b, c в совокупности.

Примеры: 1. 1 + 1 = 2. Здесь c = 2 < 1r(abc)^1+ = 12^1+, K() = 1.

2. 1 + 2 = 3, c = 3 < 1r(abc)^1+ = 16^1+, K() = 1.

3. 1 + 3 = 4. Здесь c = 4 < 1r(abc)^1+ = 16^1+, K() = 1.

4. 1 + 8 = 9, c = 9 < r(abc)^1+ = 6^1+, K() = .

5. 3 + 125 = 128. Здесь c = 128 < 4r(abc)^1+ = 430^1+, K() = 4.

6. 5 + 27 = 32, c = 32 < 1,1r(abc)^1+ = 1,130^1+, K() = 1,1.

7. 12 + 13 = 25, c = 25 < 1r(abc)^1+ = 1390^1+, K() = 1.

abc-Гипотеза для натуральных чисел выглядит сложнее, чем для многочленов. Первое, что приходит в голову, – упростить её формулировку: существует такая константа K > 0, что для любой abc-тройки верно неравенство c < Kr(abc). Однако, как показали два студента Йельского университета Стейл Войтек Ястрзебовский и Дэн Шпильман, такое предположение не верно:

Лемма. (1) Для любого k  N .

(2) Для любого k  N тройка являетсяabc-тройкой, причём с = > r(abc) = 3r().

(3) Не существует такой константы K > 0, что для любого k  N для abc-тройки из (1) верно c < Kr(abc).

Доказательство. (1) Индукция по k. База k = 1: 8 = 3² – 1  2³.

Предположим, что для k = 1, … , m и докажем, что это верно и при k = m + 1: . Действительно, , так что . Первая скобка чётна, т.е. делится на 2, а вторая скобка по предположению индукции делится на 2 ^m+2. Произведение же скобок делится на 2 ^m+3, что и требовалось.

(2) То, что – abc-тройка, не вызывает сомнений. Проверим неравенство из формулировки abc-гипотезы.

Во- первых, r(abc) = r(1) = r(). Во-вторых, в каноническом разложении , где s  k + 2, простые числа в правой части не равны 3, т.к. иначе, 3 | , 3 | и 3 | 1, что невозможно. Наконец, r() = 32p₂ … p_k  . Таким образом, с = > r(abc).

(3) От противного с учётом предыдущих вычислений:

,

т.е. K > , что невозможно при k   .

Лемма доказана.

Утверждение (2) леммы показывает, что существует бесконечно много abc-троек со свойством c > r(abc). Такие тройки называются хитовыми. Расчёты на ЭВМ показывают, что хитовых троек относительно мало: так, для c < 50000 есть только 276 хитовых троек. Приведём все хитовые тройки для c < 1000 (их всего 31):

Смысл хитовости понятен: только хитовые тройки могут дать контрпример к abc-гипотезе, поэтому именно на них нужно сосредоточить особое внимание. Можно ввести меру хитовости abc-тройки : для abc-тройки (a; b; c) положим . Ясно, что это равенство эквивалентно следующим соотношениям:  ln c = ln r(a, b, c) 

 c = e^{ln r(a, b, c)} = (e^{ln r(a, b, c)})^  c = r(a, b, c)^{(a, b, c)}, (a, b, c) = log _{r(a, b, c)} c .

Оказывается, что все известные abc-тройки имеют ограниченную меру хитовости. Вот первые три тройки в хит-параде хитовых троек:

1. a = 2, b = 3¹⁰109, c = 23⁵,  = 1,62991…

2. a = 11², b = 3²5⁶7³, c = 2²¹23,  = 1,62599…

3. a = 191307, b = 729²31⁸, c = 2⁸3²²5⁴,  = 1,62349…

Для примера приведём меры хитовости для всех хитовых троек со значениями c < 1000:

В связи с этим естественно возникают следующие вопросы:

О верхней грани меры хитовости: существует ли такое число g, что для всех abc-троек выполнено неравенство (a, b, c)  g ?

О конечности числа abc-троек с высокой мерой хитовости: верно ли, что для любого h > 1 существует лишь конечное число abc-троек со свойством (a, b, c)  h, и бесконечно много abc-троек, для которых выполнено 1 < (a, b, c) < h ?

Оба эти утверждения пока не доказаны, но и не опровергнуты. Ясно, что из положительного ответа на второй вопрос следует положительный ответ и на первый: если h > 1 и лишь конечное число abc-троек имеют меры хитовости ₁ , … , _k больше h, то можно взять g = max{₁ , … , _k } + 1. С другой стороны, положительный ответ на второй вопрос эквивалентен справедливости abc-гипотезы:

Теорема (об эквивалентных формулировках abc-гипотезы). Следующие утверждения эквивалентны:

(1) abc-гипотеза: для любого  > 0 существует константа K() > 0, для которой c  K()r(a, b, c)^{1 + } для любой abc-тройки;

(2) для любого  > 0 существует лишь конечное число хитовых abc-тро­ек со свойством с > r(a, b, c)^{1 + } ;

(3) для любого h > 1 существует лишь конечное число abc-троек со свойством (a, b, c)  h .

Доказательство. (1)  (2) От противного: пусть для некоторого  > 0 есть бесконечное множество хитовых abc-троек {(a_i ; b_i ; c_i )}_{i  N} со свойством r(a_i , b_i , c_i)^{1 + } < с_i . По abc-гипотезе для числа найдётся такая константаK = , что c_i  Kr(a_i , b_i , c_i), а значит, будут верны неравенства r(a_i , b_i , c_i)^{1 + } < c_i  Kr(a_i , b_i , c_i) , r(a_i , b_i , c_i)<K, т.е. ограничена последовательность {r(a_i ; b_i ; c_i )}_{i  N} : r(a_i , b_i , c_i) < K . Поэтому ограничена последовательность {c_i} _{i  N} : c_i  Kr(a_i , b_i , c_i)<K , вопреки бесконечности рассматриваемого множества хитовых троек.

(2)  (3) Пусть для любого  > 0 существует лишь конечное число хитовых abc-троек со свойством с > r(a, b, c)^{1 + }. Выбрав число h > 1 и взяв  = h – 1, получим набор хитовых троек (a_i ; b_i ; c_i ) (1  i  k), удовлетворяющих неравенствам с_i > r(a_i , b_i , c_i)^h . Если тройка (a ; b ; c) имеет меру хитовости , тоc = r(a, b, c)^{(a, b, c)} > r(a, b, c)^h, так что любая такая тройка должна совпадать с одной из (a_i ; b_i ; c_i ) (1  i  k), что и требовалось.

(3)  (1) Пусть для любого h > 1 существует лишь конечное число abc-троек со свойством (a, b, c)  h  c = r(a, b, c)^{(a, b, c)}  r(a, b, c)^h . Зафиксировав произвольное  > 0 и положив h = 1 + , получим лишь конечное число k = k() abc-троек (a_i ; b_i ; c_i ) (1  i  k), удовлетворяющих неравенствам с_i  r(a_i , b_i , c_i)^h = r(a_i , b_i , c_i)^{1 + }. Взяв , получим с_i < K()r(a_i , b_i , c_i)^{1 + }. Для остальных хитовых abc-троек выполнены неравенства c  r(a, b, c)^{1 + } < K()r(a, b, c)^{1 + }. Таким образом, из утверждения (3) следует abc-гипотеза.

Теорема доказана.

Вера в правдоподобность abc-гипотезы укрепляется её справедливостью для многочленов и компьютерными расчётами. В Интернете существует проект по проверке этой гипотезы (а также и некоторых других) путём вычислений, распределённых по компьютерам многочисленных пользователей. Справедливость abc-гипотезы уже проверена для всех натуральных чисел с несколькими десятками цифр. При этом не только не найдено контрпримера, но и не превзойдёна максимальная мера хитовости  = 1,62991… . Поэтому не менее чем abc-гипотеза правдоподобно следующее предположение: для любой abc-тройки верно с < r(a, b, c)², в котором максимальная мера хитовости даже огрублена до двух. Это предположение будем в дальнейшем называть (abc)² -гипотезой.