§ 2. Abc-гипотеза и “Великая теорема Ферма” для многочленов

В последнее время наметился новый нетривиальный подход к доказательству Великой теоремы Ферма. Так называемая abc-гипотеза для многочленов была доказана в 1983 г. Р. Мейсоном (Mason R.C. Diophantine Equations over Function Fields // London Math. Soc. Lecture Note Series, Vol. 96, Cambridge University Press, 1984). Впоследствии обнаружилось, что полученный им результат в действительности уже был открыт ранее В. Стотерсом (Stothers W. Polynomial identities and hauptmoduln. Quart. Math. Oxford (2) 32 (1981), pp. 349–370), но математики, как это часто бывает, не обратили внимания на эту работу.

abc-Теорема Мейсона-Стотерса. Пусть a(t), b(t), c(t)  C[t] – не равные константе взаимно простые полиномы со свойством a(t) + b(t) = c(t). Тогда max(d(a) , d(b), d(c)) < r(abc) – 1, где d(f) – степень многочлена f(t), и для заданного многочлена p(t) с каноническим разложением p(t) = символr(p) обозначает выражение p₁(t) … p_k(t) и называется радикальным многочленом для p(t).

Замечание: На самом деле r(p) – это просто количество различных корней многочлена p(t) в поле комплексных чисел без учёта их кратностей. Действительно, все простые над С имеют степень 1, так что полиномы p₁(t), … , p_k(t) в каноническом разложении многочлена p(t) имеют степень 1 и определяют один корень многочлена. Поэтому для многочлена p(t) = верно r(p) = k – количество различных корней многочлена.

Доказательство. Это доказательство принадлежит ученику выпускного класса Н. Снайдеру, который нашёл его после беседы с С. Ленгом, сформулировавшим для него теорему Мейсона-Стотерса. Сейчас этот школьник уже окончил Гарвардский университет.

Лемма. Пусть f(t) – многочлен положительной степени, f(t) – его производная. Тогда d(f) = d(НОД(f , f ')) + r(f).

Доказательство. Во-первых, сделаем замечание о корнях полинома f(t). Пусть  – корень f(t), т.е. такое комплексное число, что f() = 0. Разложим f(t) по степеням двучлена t – , записав f(t) = f_n(t – )ⁿ + … + f_m(t – )^m, где f_n  0  f_m , m  1 – кратность корня  . Тогда можно вычислить производную f(t) = nf_n(t – )^n–1 + … + mf_m(t – )^m–1, т.е. m – 1 является наибольшей степенью двучлена t –  , делящей f(t).

Пусть теперь ₁ , … , _r – все различные корни многочлена f(t) кратностей m₁ , … , m_r соответственно. Тогда f(t) = . Сделанное в предыдущем абзаце замечание и однозначность разложения на множители дают разложение НОД(f , f ) = для некоторой ненулевой константы p_n . Значит, d(f) = m₁ + … + m_r = (m₁ – 1) + … + (m_r – 1) + r = = d(НОД(f , f)) + r(f).

Лемма доказана.

Закончим доказательство теоремы Мейсона-Стотерса. Прежде всего, три многочлена D_a(t) = НОД(a , a), D_b(t) = НОД(b , b), D_c(t) = НОД(c , c') попарно взаимно просты. Действительно, любой делитель первых двух является общим делителем a(t) и b(t), а значит, тривиален. Точно так же общий делитель, например, первого и третьего из этих многочленов будет общим делителем a(t) и c(t), и делителем c(t) – a(t) = b(t), откуда снова следует тривиальность этого общего делителя.

Далее, из условия a(t) + b(t) = c(t) получаем аналогичное соотношение a(t) + b(t) = c(t) для производных. Значит,

a(t)b(t) – a(t)b(t) = a(t)(a(t) + b(t)) – a(t)(a(t) + b(t)) = a(t)c(t) – a(t)c(t).

При этом D_a = НОД(a , a) и D_b(t) = НОД(b , b) делят левую часть, а многочлен D_c(t) = НОД(c , c') делит правую часть, а значит, и левую. Поскольку все эти три многочлена попарно взаимно просты, то левая часть рассматриваемого равенства a(t)b(t) – a(t)b(t) делится и на произведение этих трёх многочленов D_a(t)D_b(t)D_c(t). Тогда

d(D_aD_bD_c) = d(D_a) + d(D_b) + d(D_c)  d(a(t)b(t) – a(t)b(t)) 

 max{d(a(t)b(t)), d(a(t)b(t))}  d(a) + d(b) – 1.

Прибавляя d(c) к обеим частям и переставляя слагаемые, получим

d(c) + d(D_a ) + d(D_b ) + d(D_c )  d(a) + d(b) + d(c) – 1,

т.е. d(c)  d(a) – d(D_a ) + d(b) – d(D_b ) + d(c) – d(D_c ) – 1.

Согласно лемме получаем d(c)  r(a) + r(b) + r(c) – 1 = r(abc) – 1 ввиду взаимной простоты многочленов a(t), b(t), c(t).

Теорема доказана.

Рассмотрим некоторые следствия доказанной abc – Теоремы для многочленов, иллюстрирующие её скрытую силу.

Теорема (“Великая теорема Ферма” для многочленов). Уравнение x(t)ⁿ + y(t)ⁿ = z(t)ⁿ с неизвестными многочленами x(t), y(t) , z(t)  C[t] , n  3 допускает только тривиальные решения: либо один из многочленов x(t), y(t), z(t) нулевой, либо все эти многочлены являются константами.

Доказательство. Пусть x(t), y(t), z(t) – тройка ненулевых многочленов со свойством x(t)ⁿ + y(t)ⁿ = z(t)ⁿ. Если хотя бы один из этих многочленов не является константой, то можно выбрать такую нетривиальную тройку с наименьшей суммой d(x) + d(y) + d(z).

Прежде всего, можно считать эти многочлены попарно взаимно простыми. Действительно, если, например, p(t) – неразложимый многочлен положительной степени, делящий какие-то два из рассматриваемых многочленов, то, очевидно, что он делит и n-ю степень третьего многочлена, а значит, делит и сам третий многочлен. Значит, x(t) = p(t)u(t), y(t) = p(t)v(t), z(t) = p(t)w(t), и сократив равенство x(t)ⁿ + y(t)ⁿ = z(t)ⁿ на p(t)ⁿ получим, что u(t)ⁿ + v(t)ⁿ = w(t)ⁿ, причём

d(u) + d(v) + d(w) = d(x) – d(p) + d(y) – d(p) + d(z) – d(p) < d(x) + d(y) + d(z),

вопреки предположению о минимальности последней суммы степеней.

Итак, можно считать, что тройка x(t), y(t), z(t) нетривиальна и состоит из попарно взаимно простых многочленов. Тогда взаимно просты и многочлены a(t) = x(t)ⁿ, b(t) = y(t)ⁿ, причём a(t) + b(t) = c(t) = z(t)ⁿ. По abc – теореме

max(d(a) , d(b), d(c))  r(abc) – 1 = r(a) + r(b) + r(c) – 1,

nmax(d(x), d(y), d(z))  r(x) + r(y) + r(z) – 1  d(x) + d(y) + d(z) – 1.

В частности, отсюда следует, что nd(x)  d(x) + d(y) + d(z) – 1, т.е.

(n – 1)d(x)  d(y) + d(z) – 1.

Аналогично, (n – 1)d(y)  d(x) + d(z) – 1, (n – 1)d(z)  d(x) + d(y) – 1. Складывая три полученных неравенства, приходим к оценкам

(n – 1)(d(x) + d(y) + d(z))  2(d(x) + d(y) + d(z)) – 3,

(n – 3)(d(x) + d(y) + d(z))  – 3,

что невозможно при n  3.

Теорема доказана.

Замечание. Как и для натуральных чисел, уравнение Ферма для многочленов при n = 2 имеет бесконечно много решений, например, такие:

x(t) = 2u(t)v(t), y(t) = u(t)² – v(t)², z(t) = u(t)² + v(t)²

при любых u(t), v(t)  C[t].