logo
Матаев

§ 4. Некоторые следствия abc- и (abc)2- гипотез

1. Великая теорема Ферма. Диофантово уравнение xn + yn = zn не имеет натуральных решений x, y, z N при n > 2.

Доказательство. От противного: пусть xn + yn = zn для некоторых натуральных чисел x, y, z и n > 2. По лемме об уравнении xn + yn = zn можно считать, что НОД(x, y) = 1. Тогда, числа xn и yn тоже взаимно просты, и обозначив a = xn, b = yn , c = zn получим abc-тройку, для которой, согласно (abc)2-гипотезе, выполняется цепочка неравенств:

zn = c < r(abc)2 = r(xnynzn)2 = r(xyz)2 (xyz)2 < (z3)2 = z6 .

Значит, n < 6, что противоречит давно доказанным случаям Великой теоремы Ферма для n = 3, 4, 5.

Теорема доказана.

В этом доказательстве использована (abc)2-гипотеза. Если же пользоваться abc-гипотезой, то можно доказать справедливость Великой теоремы Ферма, начиная с некоторого показателя n. Действительно, согласно abc-гипотезе (см. теорему об её эквивалентных формулировках в прошлом параграфе) найдётся такое h > 1, что для любой abc-тройки верно неравенство c < r(a, b, c)h. Тогда, как и в приведённом выше доказательстве,

zn = c < r(abc)h = r(xnynzn)h = r(xyz)h (xyz)h < (z3)h = z3h .

Значит, равенство xn + yn = zn может иметь место только при n < 3h, что и утверждалось.

2. Уравнение Ферма-Каталана xk + ym = zn (2 k m n). Это уравнение обобщает диофантово уравнение Ферма xn + yn = zn на случай произвольных натуральных показателей.

При исследовании этого уравнения различают три случая:

а) ,б) ,в) .

Если в третьем случае неравенство выполнено для многих значений k, m, n, то первые два случая накладывают на эти значения серьёзные ограничения. Неравенство , очевидно, равносильноmn + kn + km kmn, левая часть которого не превосходит 3mn, что даёт ограничение k 3, т.е. k = 2 или k = 3. Если k = 2, то 2(m + n) mn (m – 2)(n – 2) 4, т.е. либо m = 2, n 2, либо m = 3, n 6. Если же k = 3, то 3(m + n) 2mn, и левая часть не больше 6n, а значит, m 3, т.е. m = 3 (m k = 3) и n = 3.

Итак, случаи а), б) имеют следующие описания:

а) (k; m; n) {(2; 2; n), (2; 3; 3), (2; 3; 4), (2; 3; 5)};

б) (k; m; n) {(3; 3; 3), (2; 4; 4), (2; 3; 6)}.

Оказывается, что в случае а) каждое диофантово уравнение xk + ym = zn имеет бесконечное число решений. Для того чтобы в этом убедиться, нужно для каждой из выписанных троек степеней построить бесконечную серию решений. Например, для уравнения x2 + y2 = z2s+1 с нечётным n = 2s + 1 можно взять x = a(a2 + b2)s, y = b(a2 + b2)s, z = a2 + b2 (a, b Z). Для чётного значения n = 2s решения можно строить последовательно: если для уравнения x2 + y2 = zs уже построена бесконечная серия (xp ; yp ; zp)p N решений, то для уравнения x2 + y2 = z2s можно взять x = 2xpyp , y = xp2 – yp2, z = zp .

Для случая б) доказано, что каждое диофантово уравнение xk + ym = zn имеет лишь конечное число взаимно простых решений (НОД(x, y, z) = 1). Например, уравнение x3 + y3 = z3 – это уравнение Ферма и не имеет натуральных решений. Уравнение x2 + y4 = z4 аналогично уравнению x4 + y4 = z2 , рассматривашемуся при доказательстве теоремы Ферма для показателя 4.

В случае в) из abc-гипотезы можно вывести следующую теорему (Nitaj, Abderrahmane La conjecture abc. Enseign. Math., II. Ser. 42, No.1-2, 3-24 (1996).):

Теорема. Существует лишь конечное число наборов (xk ; ym ; zn) со свойствами:

x, y, z N; НОД(x, y, z) = 1; xk + ym = zn ; ; k, m, n 2 .

Доказательство. Любой набор (xk ; ym ; zn), очевидно, определяет abc-тройку с a = xk , b = ym , c = zn , причём

r(abc) = r(xkymzn) = r(x)r(y)r(z) xyz = (xk)1 / k(ym)1 / m(zn)1 / n =

= a1 / kb1 / mc1 / n < c1 / kc1 / mc1 / n = c1 / h,

где h = . Поэтомуc > r(abc)h, т.е. любой рассматриваемый набор определяет хитовую abc-тройку с мерой хитовости больше h. По abc-гипотезе таких троек лишь конечное число.

Теорема доказана.

В 1995 г. без использования abc-гипотезы была доказана следующая теорема Х. Дармона и А. Гранвилля (Darmon H., Granville A. On the equations zm = F(x,y) and Axp + Byq = Czr. Bull. Lond. Math. Soc. 27, No.6, 513-543 (1995)):

Теорема. Для любого набора (k ; m ; n), где ; k, m, n 2 диофантово уравнение xk + ym = zn имеет лишь конечное число решений.

Ясно, что утверждение, выведенное выше с использованием abc-гипотезы, значительно сильнее: оно утверждает глобальную конечность наборов, в отличие от конечности числа решений каждого уравнения.

В частности, доказана и гипотеза Каталана: диофантово уравнение Каталана 1 + ym = zn имеет лишь конечное число решений. Ранее эта гипотеза была доказана без использования abc-техники Преда Михайлеску (Preda Mihăi­lescu Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture, J. Reine Angew. Math. 572 (2004), 167–195).

Следует отметить, что на сегодняшний день известны лишь следующие решения уравнения xk + ym = zn :

1k + 23 = 32, 132 + 73 = 29, 27 + 173 = 712, 25 +72 = 34, 35 +114 = 1222,

177 +762713 = 210639282, 14143 + 22134592 = 657, 338 + 15490342 = 156133

438 + 962223 = 300429072, 92623 + 153122832 = 1137.

3. Гипотеза Морделла (1922 г.). Пусть задан многочлен f(x, y) степени n > 1 от двух переменных x, y с комплексными коэффициентами. Тогда алгебраическое уравнение f(x, y) = 0 задаёт алгебраическую кривую, которую можно превратить (путём некоторой компактификации) в риманово многообразие и рассмотреть род g этого многообразия. Долгое время оставалась недоказанной следующая гипотеза Морделла: если g 2, то на рассматриваемой кривой с уравнением f(x, y) = 0 лишь конечное число рациональных точек, т.е. точек с рациональными координатами (Mordell L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179—192 (1922)).

Особо важен случай гладкой кривой : кривая с уравнением f(x, y) = 0 называется гладкой, если система алгебраических уравнений не имеет решений. Оказывается, что в этом случае род кривой вычисляется просто: g = . Таким образом, проверка конечности числа рациональных точек превращается с помощью гипотезы Морделла в чисто алгебраическое упражнение.

Примеры: 1. Для кривой с уравнением xn + yn = 1, которая тесно связана с уравнением Ферма xn + yn = zn, имеем f(x, y) = xn + yn – 1 и система не имеет решений. Таким образом, кривая гладкая, её родg = > 2 при n > 2, так что на ней лежит лишь конечное число рациональных точек. Отсюда легко вывести, что уравнение Ферма имеет конечное число взаимно простых нетривиальных решений.

2. Кривая с уравнением x2 + y2 = 1 гладкая, но её род g = 1, так что на ней лежит бесконечно много рациональных точек (t R).

3. Кривая с уравнением x + y = 2 гладкая, но её род g = 0, на ней лежит бесконечно много рациональных точек (t R).

4. Кривая с уравнением x + y = 0 не гладкая (гладкости нет при x = 0 = y). На ней бесконечно много рациональных точек.

Гипотеза Морделла была доказана Г. Фалтингсом в 1984 г. ещё до появления abc-гипотезы (Faltings G. Die Vermutungen von Tate und Mordell // Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1—13.). Это был революционный прорыв в изучении алгебраических кривых.

В 1991 г. Ноам Элкис доказал, что гипотеза Морделла следует из abc-гипотезы. Более того, с её помощью можно получить эффективные оценки высоты рациональных точек на алгебраических кривых (Elkies Noam D. abc implies Mordell. Int. Math. Res. Not. 1991, No.7, 99-109 (1991)).

4. Диофантово уравнение pv – pw = qx – qy имеет лишь конечное число решений. Здесь p, q – различные простые числа, v, x, w, y N. В 2003 г. Флориан Люка (Luca) показал, что из abc-гипотезы следует конечность числа наборов (p; q; v; w; x; y), удовлетворяющих этому уравнению (Luca F. On the Diophantine equation // Indag. Math., New Ser. 14, No. 2, 207-222 (2003)).

5. Теорема Туэ-Зигеля-Рота. В 1955 г. Клаусом Ротом (Klaus Roth) бы­ла доказана следующая теорема: для любого алгебраического числа и > 2 неравенство имеет лишь конечное число несократимых решений . Эта теорема придала окончательную форму исследованиям, начатым в своё время Дирихле, Туэ и Зигелем.

В 1994 г. Энрико Бомбьери доказал, что эта мощная теорема является следствием abc-гипотезы (Bombieri, E. Roth's theorem and the abc conjecture // preprint (1994), см. также van Frankenhuysen M. The abc conjecture implies Roth's theorem and Mordell's conjecture // Math. Contemporanea, 76, 45-72 (1999)). Он получил и эффективную оценку: для любого алгебраического числа существует такая константа C = C(), что неравенство выполнено при k C()(ln n) –1 / 2 (ln (ln n)) –1.

6. Проблема Брокарда (Brocard): Какие решения имеет диофантово уравнение n ! + 1 = m2 ? Его решения называются парами Брауна (Brown). Очевидно, что решения есть: n = 4, m = 5; n = 5, m = 11; n = 7, m = 71. Есть ли другие решения ?

С помощью abc-гипотезы удалось доказать, что это диофантово уравнение имеет лишь конечное число решений, т.е. пар Брауна лишь конечное число (см. Nitaj, Abderrahmane La conjecture abc. (The abc conjecture) // Enseign. Math., II. Ser. 42, No.1-2, 3-24 (1996), Overholt, Marius The diophantine equation n! + 1 = m2 // Bull. Lond. Math. Soc. 25, No.2, 104 (1993), Dabrowski, Andrzej On the diophantine equation x! + A = y2 // Nieuw Arch. Wiskd., IV. Ser. 14, No. 3, 321-324 (1996)).

7. Простые числа Вифериха (Wieferich). Простое число p называется простым числом Вифериха, если p2 делит 2p – 1 – 1. Эти числа, как ни странно, возникали при доказательствах Великой теоремы Ферма, но их очень мало: среди простых чисел меньших 4.000.000.000.000, всего два числа Вифериха – 1093 и 3511. Отметим, что p | 2p – 1 – 1 для любого нечётного p ввиду малой теоремы Ферма.

В 1988 г. Джозефом Сильверманом (Silverman) было доказано, что abc-гипотеза подтверждает наличие “малого” количества простых чисел Вифериха: для любого a N существует бесконечно много простых чисел p со свойством p2 не делит a p – 1 – 1 (Silverman, Joseph H. Wieferich's criterion and the abc-conjecture // J. Number Theory 30, No. 2, 226-237 (1988)).

8. Слабая гипотеза Маршалла Холла: Для любого > 0 существует такая константа С() > 0, что если для натуральных x и y верно x3 y2 , то |x3 – y2|> C()max(x3, y2) (Nitaj, Abderrahmane La conjecture abc. (The abc conjecture) // Enseign. Math., II. Ser. 42, No.1-2, 3-24 (1996), см. также Schmidt, Wolfgang M. Diophantine approximations and diophantine equations // Lecture Notes in Mathematics. 1467. Berlin etc.: Springer-Verlag. viii, 217 p. (1991)).

9. Гипотеза Эрдёша (Erdös) о последовательных степенных целых числах. Натуральное число называется степенным, если любое простое число участвует в его каноническом разложении с показателем 2 или выше. Нетрудно понять, что любое степенное число представимо в виде A2B3 для некоторых натуральных A, B. Гипотеза Эрдёша предполагает, что не существует трёх последовательных степенных чисел.

a·b·c-гипотеза позволяет доказать более слабое утверждение: множество троек последовательных степенных чисел конечно.

Можно доказать, что конечно и множество степенных троек, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии и взаимно простыми с разностью этой прогрессии. Действительно, предположив, что есть тройка n, n + k, n + 2k степенных чисел, где НОД(n, k) = 1, можно положить a = k2, b = n·(n + 2k) = n2 + 2kn , причём

НОД(a, b) = НОД(k2 , n2 + 2kn) = НОД(k2 , n(n + 2k)) = 1,

т.к. НОД(n, k) = 1 = НОД(k , n + 2k). Итак, получена a·b·c-тройка вида: a = k2, b = n·(n + 2k) = n2 + 2kn, c = (n + k)2 = n2 + 2kn + k2. Тогда с учётом того, что r(A2B3) = r(AB) , получим

,

.

При фиксированном k и стремлении n к бесконечности, отношение стремится к 0. И тогда при больших n получим хитовые abc-тройки с мерой хитовости > 1 при любом сколь угодно малом > 0 . Таких троек по abc-гипотезе лишь конечное число.

10. Свободные от квадратов значения многочленов. До сих пор не было известно ни одного неразложимого многочлена f(x) степени не меньше 5 с целыми коэффициентами, у которого значения f(n) (n N) свободны от квадратов (т.е. являются произведениями различных простых чисел) для бесконечно многих n. Бровкин Д., Филасета М., Гривс Г. и Скинзель А. (Browkin J., Filaseta M., Greaves G., Schinzel A.) доказали, что abc-гипотеза позволяет утверждать, что этим свойством обладают многочлены деления круга и f(x) = =xn–1 + xn–2 + … + x + 1 (см. Browkin J., Filaseta M., Greaves G., Schinzel A. Squarefree values of polynomials and the abc-conjecture // Greaves, G. R. H. (ed.) et al., Sieve methods, exponential sums, and their applications in number theory. Proceedings of a symposium, Cardiff, UK, July 17-21, 1995. Cambridge: Cambridge University Press. Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser. 237, 65-85 (1997)).

11. Гипотеза Чинзеля-Тиджемана (Schinzel-Tijdeman). Эта гипотеза утверждает, что если многочлен p(x) с рациональными коэффициентами имеет по крайней мере 3 простых корня, то диофантово уравнение p(x) = y2z3 имеет лишь конечное число нетривоальных решений (x; y; z). В 1999 г. П. Уолш (Walsh) доказал, что это следует из abc-гипотезы (Walsh P.G. On a conjecture of Schinzel and Tijdeman // Gyoery, Kalman (ed.) et al., Number theory in progress. Proceedings of the international conference organized by the Stefan Banach International Mathematical Center in honor of the 60th birthday of Andrzej Schinzel, Zakopane, Poland, June 30-July 9, 1997. Volume 1: Diophantine problems and polynomials. Berlin: de Gruyter. 577-582 (1999)).

12. Задача округления. Пусть x – положительное вещественное число. Тогда для правильного округления числа вn-битовой арифметике нужно вычислить 3n + 1 старших битов. В 2004 г. Э. Крут, Р. Ли и Х. Джунь доказали, что использовав abc-гипотезу, можно ограничиться 2n старшими битами (Croot E., Li R., Zhu H. The abc conjecture and correctly rounded reciprocal square roots // Theor. Comput. Sci. 315, No. 2-3, 405-417 (2004)).

З А К Л Ю Ч Е Н И Е

В результате выполнения дипломной работы были достигнуты все поставленные во введении цели:

Дипломная работа имеет теоретическое значение. В ней сделаны лишь первые шаги по осмыслению подходов к доказательству Великой теоремы Ферма: хотя в работе нет новых, не известных специалистам математических результатов, но она даёт по возможности связное и обоснованное описание трудных, разнородных и разбросанных в литературе методов и идей. Представленное изложение материала по силам студентам математических факультетов вузов, а некоторые разделы работы – даже школьникам старших классов. Поэтому дипломная работа может быть использована в качестве учебного материала для изучения вопросов, связанных с представленными в ней темами, в учебных курсах и спецкурсах для студентов физико-математических специальностей вузов и на факультативных занятиях в школах.

Работа по изучению доказательства Великой теоремы Ферма может быть продолжена в дальнейшем.

Л И Т Е Р А Т У Р А

  1. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. – М.: Наука, 1972.

  2. Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.

  3. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. – М., 1965.

  4. Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. – M., 1961.

  5. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. – М.: Мир, 1980.

  6. Wiles A. Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem // Annals of Math., 1995, Vol. 141, P. 443-552.

  7. Wiles A., Taylor R. Ring theoretic properties of certain Hecke algebras // Annals of Math., 1995, Vol. 141, P. 553-572.

  8. Гипотеза АВС // Электронный ресурс. – Режим доступа:

http://mindspring.narod.ru/math/ega/Lang/HypotABC.htm

  1. Математическая энциклопедия [Электронный ресурс] / ООО “РМГ Мультимедиа”. – Электрон. текстовые и граф. дан. – М.: РМГ Мультимедиа, Бо­льшая Российская Энциклопедия, 2006. – (М: ООО “РМГ Компании”, 2006). – 2 электронных опт. диска (CD-ROM). – Систем. требования: Wn 98/Me/2000/XP, Pentium 166, 64 Mb RAM.

  2. Следствия из гипотезы о тройках АВС // Электронный ресурс. – Режим доступа: http://boinc.ru/doc/abc/abc_conjecture.ru/consequences.html

69