6.2. Формула Бейеса.

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂, …,B_n, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называютгипотезами. Вероятность события A определяется по формуле полной вероятности:

P(A) =P(B₁)P_B1(A) +P(B₂)P_B2(A) + … +P(B_n)P_Bn(A).

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие A. Поставим своей задачей определить, как изменились вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

P_A(B₁),P_A(B₂), …,P_A(B_n).

Найдем сначала условную вероятность PA(B1). По теореме умножения имеем

P(AB₁) =P(A)P_A(B1) =P(B₁)P_B1(A).

Отсюда

P_A(B) = (P(B₁)P_B1(A))/P(A).

Заменив здесьP(A) по формуле полной вероятности, получим

P_A(B₁) = (P(B₁)P_B1(A))/(P(B₁)P_B1(A) + P(B₂)P_B2(A) + … +P(B_n)P_Bn(A)).

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы B_i(i = 1, 2, …,n) может быть вычислена по формуле

P_A(B_i) = (P(B_i)P_Bi(A))/(P(B₁)P_B1(A) + P(B₂)P_B2(A) + … +P(B_n)P_Bn(A)).

Полученные формулы называют формулами Бейеса(по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.).Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятность гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итого которого появилось событиеA.

7.