18.1. Характеристические функции и их свойства.

— мнимая единица,— вещественная переменная,— формула Эйлера,— способ вычисления математического ожидания комплекснозначной случайной величины, если математические ожидания её действительной () и мнимой () частей существуют.

Как всегда, модулем комплексного числаназывается число, так что.

Функциявещественной переменнойназываетсяхарактеристической функциейслучайной величины.

Свойства характеристической функции.

Свойство 1. Характеристическая функция всегда существует:

Свойство 2. По характеристической функции однозначно восстанавливается распределение (функция распределения, плотность или таблица распределения). Т.е. если две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то и распределения этих величин совпадают.

Свойство 3. Характеристическая функция случайной величины  связана с характеристической функцией случайной величины  равенством:

Свойство 4.  Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: если случайные величины  и  независимы, то, по свойству математических ожиданий

Свойство 5. Пусть существует момент порядка  случайной величины, т.е. . Тогда характеристическая функция  непрерывно дифференцируема  раз, и её -я производная в нуле связана с моментом порядка  равенством:

Свойство 6. Пусть существует момент порядка  случайной величины , т.е. . Тогда характеристическая функция  в окрестности точки  разлагается в ряд Тейлора

19.