9.2. Биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое распределения, распределения Пуассона.
Биномиальное распределение.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытания постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления q = 1 – p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события A в этих испытаниях, тогда закон распределения этой случайной величины будет иметь вид:
Pn(k) =pkqn-k,
где k = 0, 1, 2, … n.
Биномиальнымназывают распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.
Геометрическое распределение.
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события Aравнаp(0 <p< 1) и, следовательно, вероятность его непоявления равнаq= 1 –p. Испытания заканчиваются, как только появится события A. Таким образом, если событие A появилось в k-ом испытании, то в предшествующих k-1 оно не появлялось.
Пусть в первых k-1 испытаниях событие A не наступило, а в k-ом испытании появилось. Вероятности этого «сложного» события, по теореме умножения вероятностей независимых событий,
P(X=k) =qk-1p.
Полагая k = 1, 2, … получим геометрическую прогрессию, по причине которой и названо это распределение - геометрическим.
Гипергеометрическое распределение.
Гипергеометрическое распределение – моделирует количество удачных выборок без возращения из конечной совокупности.
Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из N элементов. Предположим, что D из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся N − Mэтим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из n элементов. Пусть X - случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятностиXимеет вид:
P(X=m) = .
Распределение Пуассона.
Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события A равна p. Для определения вероятности k появлений события A в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако это формула не пригодна, если вероятность события мала (p <= 0,1). В этих случаях (n велико, p мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона
Pn(k) = (λke-λ)/k!,
которая и выражает закон распределения Пуассонавероятностей массовых (n велико) и редких событий (p мало).
10.
- 1. Дискретное пространство элементарных событий. Операции над событиями.
- 2.1. Классическое определение вероятности.
- 2.2. Свойства вероятности.
- 3.1. Произвольное пространство элементарных событий.
- 3.2. Алгебра и σ - алгебра множеств.
- 3.3. Борелевские множества.
- 3.4. Вероятность.
- 4.1. Геометрическая вероятность.
- 5.1. Условные вероятности.
- 5.2. Независимые события и их свойства.
- 6.1. Формула полной вероятности.
- 6.2. Формула Бейеса.
- 7.1. Повторяющиеся испытания.
- 7.2. Формула Бернулли.
- 8.1. Случайные величины и функции распределения.
- 8.2. Свойства функции распределения.
- 9.1. Дискретные случайные величины.
- 9.2. Биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое распределения, распределения Пуассона.
- 10.1. Абсолютно-непрерывные случайные величины.
- 10.2. Равномерное распределение, нормальное распределение, показательное распределение.
- 11.1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
- 12.1. Дисперсия случайной величины и ее свойства.
- 13.1. Нормированные случайные величины.
- 13.2. Коэффициент корреляции.
- 14.1. Неравенства Чебышева.
- 15.1. Закон больших чисел.
- 16.1. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- 17.1. Теорема Пуассона.
- 18.1. Характеристические функции и их свойства.
- 19.1. Сходимость случайных величин и функций распределения.
- 20.1. Центральная предельная теорема.
- 21.1. Основные задачи математической статистики.
- 21.2. Выборка и вариационный ряд, полигон и гистограмма частот.
- 22.1. Эмпирическая функция распределения.
- 22.2. Эмпирические моменты.
- 22.3. Метод условных вариант.
- 23.1. Точечные оценки параметров распределения.
- 24.1. Метод моментов определения параметров распределения.
- 25.1. Метод максимального правдоподобия нахождения параметров распределения.
- 26.1. Некоторые распределения связанные с нормальным распределением: Пирсона, Стьюдента.
- 27.1. Интервальные оценки параметров распределения.
- 27.2. Нахождение доверительных интервалов для распределений Пуассона, биномиального, нормального.
- 28.1. Статистическая проверка статистических гипотез.
- 28.2. Ошибки первого и второго рода.
- 29.1. Оптимальный критерий.
- 29.2. Теорема Неймана-Пирсона.
- 30.1. Непараметрические критерии.
- 30.2. Критерий Колмогорова.
- 31.1. Критерий Пирсона.
- 31.2. Вычисление теоретических частот для различных видов распределений.
- 32.1. Элементы теории корреляции.
- 32.2. Понятие корреляционной зависимости.
- 32.3. Точечные оценки для условных математических ожиданий и коэффициента корреляции.
- 33.1. Цепи Маркова.
- 33.2. Матрица перехода.
- 34.1. Классификация состояний цепи Маркова.
- 34.2. Теорема солидарности.
- 35.1. Теорема о предельных вероятностях.
- 36.1. Случайные процессы.
- 36.2. Марковские процессы со счетным множеством состояний.
- 37.1. Локально-регулярные марковские процессы.
- 37.2. Система уравнений Колмогорова.
- 38.1. Применение теории марковских процессов к задачам теории массового обслуживания.
- 39.1. Процесс Пуассона.