Темы для размышлений

1.

Докажите, что в арифметических прогрессиях 3, 7, 11, ... и 5, 11, 17, ... бесконечно много простых чисел.

2.

Каково множество тех многочленов, значения которых лежат вдоль диагонали, если спираль (см. рис. 1)

• начата с 1?

• начата с некоторого числа u?

• начата с некоторого числа u, и по спирали стоят члены арифметической прогрессии u, u + v, u + 2v, ...?

3.

Теорема Вильсона утверждает, что если p — простое число, то (p–1)! + 1 делится на p. Как можно использовать этот результат, чтобы уменьшить число неизвестных в экспоненциальном многочлене R, задающем простые числа?

4.

Постройте экспоненциальный многочлен S(x₀, ..., x_k ), который задаёт множество полусумм простых чисел-близнецов, т.е. такой многочлен, что если S(x₀, ..., x_k ) > 0, то оба числа S(x₀, ..., x_k ) – 1 и S(x₀, ..., x_k ) + 1 являются простыми, и наоборот, если s – 1 и s + 1 — простые числа, то S(x₀, ..., x_k ) = s при некоторых x₀, ..., x_k .

5.

Постройте экспоненциальный многочлен T(q, x₀, ..., x_m ), такой, что

• если q — простое число, то существуют числа x₀, ..., x_m  такие, что T(q, x₀, ..., x_m ) > 0;

• если q — простое число и T(q, x₀, ..., x_m ) > 0, то T(q, x₀, ..., x_m ) — простое число, следующее за q;

• если q не является простым числом, то всегда T(q, x₀, ..., x_m ) ≤ 0.

Этот экспоненциальный многочлен даёт «формулу для следующего простого числа».