Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты бинома!

Только что мы использовали выражение биномиальных коэффициентов через факториал; но биномиальные коэффициенты имеют много и других определений. Воспользуемся теперь тем, что

Эта формула является определением биномиальных коэффициентов, если рассматривать её как тождество относительно u. Но нам нужно, чтобы u было неизвестной, принимающей в каждом конкретном решении искомой системы лишь одно значение.

Заметим, что

и, таким образом, если

то (t0), (t1), ..., (tt) — это цифры в записи числа (u+1)^t в позиционной системе счисления с основанием u. Следовательно, биномиальные коэффициенты однозначно определяются тем условием, что равенство (26) и неравенства (27) и (28) одновременно выполнены хотя бы при одном значении  u.

Лемма 5. Условие (23) эквивалентно относительно параметров r, t, c системе условий

Здесь все условия уже имеют необходимый нам вид.

Итак, мы показали, что условие (11) эквивалентно относительно параметра p системе, состоящей из экспоненциально диофантовых уравнений (15), (18), (22), (24), (25), (29)–(33). Чтобы получить требуемый экспоненциальный многочлен, осталось переименовать переменные r, s, t, c и u в x₁₀, x₁₁, x₁₂, x₁₃, x₁₄, объединить по лемме 2 все уравнения в одно и преобразовать по лемме 1 это уравнение к искомому виду (10).