Лекция 8. Проективная геометрия

Основная идея этой чистой геометрии родилась из желания художников Возрождения создать «зрительную геометрию». Как выглядят предметы в действительности и как их можно изобразить в плоскости чертежа

С.Г. Гульд

П

Все проблемы Перспективы можно прояснить при помощи пяти терминов Математики: точка, линия, угол, поверхность и тело Леонардо да Винчи

Хотя проективная геометрия возникла первоначально как один из разделов евклидовой геометрии, но позже математики поняли, что она является самостоятельным предметом, и даже больше – все остальные известные геометрии сводятся к ней. Английский математик А.Кэли сформулировал свое отношение к проективной геометрии так: «проективная геометрия – это вся геометрия». Именно поэтому практическая ценность проективной геометрии не только в ее применении для нужд архитекторов, фотографов, а в том, влиянии, которое она оказывает на другие области математики.

Проективная геометрия применяется в дизайнерском деле, в разнообразных фантастических проектах ведущих мировых архитекторов.

П роективная геометрия удивительна, она изобилует невозможностями: параллельные прямые в ней пересекаются, все параллельные прямые имеют одну общую точку, параллельные плоскости также пересекаются – по прямой. Если в ней что-то надо доказать, то это делается достаточно легко и обычно просто. Ведь если художник хочет нарисовать картину, разве будет он что-то усложнять и доказывать, его цель – нарисовать и, по возможности, как можно более правдоподобно.

Понселе

Возникновение проективной геометрии связано с именем известного французского математика Понселе. Он выделил как объект её изучения особые свойства геометрических фигур, которые были названы проективными. Но какие именно свойства относятся к проективным? Нарисуем произвольный куб, воображаемый или стоящий перед вами. Рисунок каждого будет отличаться, и зависеть от места, занимаемого каждым по отношению к кубу. Да и сам рисунок будет во многом отличаться от реального куба. Например, известно, что у куба все углы прямые.

На рисунке это сделать достаточно затруднительно. Не будет сохранено даже соотношение длин. Но, тем не менее, некоторые факты, касающиеся заданного куба, останутся неизменными и на этом рисунке. Так, например, прямая не превратится ни в кривую, не в окружность – она останется прямой. Изображение точки есть точка. Если некоторая точка принадлежала прямой, то и на чертеже она будет принадлежать той же прямой. Однако уже свойство точки лежать между двумя другими не сохранится. Вот сохраняющиеся свойства и называются проективными. Именно ими и занимается проективная геометрия, остальные, изменяющиеся свойства, она игнорирует.

З начительное место в проективной геометрии занимает введение так называемых несобственных (или бесконечно удаленных) геометрических элементов. Введение этих элементов – заслуга другого математика, француза Жерара Дезарга.

О

Понселе

Он считал, что все параллельные прямые пересекаются в точке, которая является таким бесконечно удаленным элементом. Этим шагом Дезарг положил начало проективному представлению пространства (полное проективное пространство) и сделал возможным изучение проективных преобразований.

Следуя за Дезаргом, дополним пространство Е₃ новыми точками, а именно: ко всем обычным точкам каждой прямой мысленно добавим ещё одну, несобственную точку. Будем считать, что две параллельные прямые имеют одну и ту же несобственную точку, а непараллельные прямые – различные. Обычные точки будем называть собственными. Прямую, дополненную несобственной точкой, назовём расширенной. Каждая плоскость имеет бесконечное множество параллельных прямых, следовательно и несобственных точек. Пусть все несобственные точки плоскости образуют несобственные прямые, а все несобственные точки пространства - несобственную плоскость. Плоскость, дополненную расширенной прямой, будем называть расширенной плоскостью. Вот и построена нами новая геометрия, которая занимает не менее важное место, чем евклидова.

Другим важнейшим результатом работы Дезарга является его исследование так называемого инволюционного соответствия точек прямолинейного ряда. Здесь и самый термин «инволюция» принадлежит Дезаргу и взят им из ботанического словаря, в котором слово «инволюция» означает скручивание молодых листьев. Прямую, на которой расположен ряд точек, он называет «древом», точку отсчета отрезков – «стволом», самые отрезки – «ветвями» и т.д. Это соответствие находит свое применение в принципе двойственности проективной геометрии: «если справедливо утверждение Δ, в котором говорится о точках и прямых на плоскости и об их взаимном расположении, то справедливо и двойственное предложение Δ* которое получается из Δ заменой слова «точка» словом «прямая», а слова «прямая» словом «точка».

Н

Ж. Жергони

Все теоремы проективной геометрии касаются только проективных свойств, в них даже и не говорится ни об углах, ни о длинах. Одна из известных теорем проективной геометрии – это теорема Дезарга. Теорема Дезарга дает ответ на детскую задачку: как посадить десять деревьев десятью рядами так, чтобы в каждом ряду было по три дерева.

Сформулируем теорему. Пусть на плоскости заданы точки А, В, С и точка О, через которую проходят прямые ОА, ОВ, ОС. На каждой из этих прямых выберем по одной произвольной точке – А₁, В₁, С₁, тогда точки пересечения прямых АВ с А₁В₁, АС с А₁С₁ и ВС с В₁С₁ лежат на одной прямой.

Особенность этой теоремы еще и в том, что в теореме соблюдается полное равноправие: любые четыре из этих точек можно обозначить через А, В, С, О, и содержание теоремы не изменится.

Другая особенность в том, что в теореме Дезарга можно «поменять местами» точки и прямые: записывая формулировку теоремы будем вместо слов «точка лежит на прямой» писать «прямая проходит через точку», и наоборот, то есть слова «точка» и «прямая» можно менять местами. В результате такой «лингвистической» процедуры прямая теорема Дезарга превратится в так называемую обратную.

Оказывается, в проективной геометрии такое же «преобразование» можно применить к тексту любой теоремы. Ведь на проективной плоскости, в отличие от евклидовой, нет параллельных прямых. Любые две прямые имеют общую точку. И, конечно же, через любые две точки проходит единственная прямая.

Таким образом, если доказана какая-либо теорема проективной геометрии, то можно считать доказанной и двойственную ей теорему, которая получается из нее, если поменять местами точки и прямые.

Как уже говорилось, в проективной геометрии между двумя точками расстояние изменяется. Но положение изменится, если на прямой задано четыре точки или четыре объекта. Пусть это точки А, В, С, D. Возьмем в качестве отсчета некоторую точку О и измерим расстояние от этой точки до каждой из заданных. Предположим их равными a, b, c, d. Вычислим величину . Это число обладает тем свойством, что оно одно и то же для изображения и его оригинала. То есть, если мы измерим расстояние между четырьмя объектами, например, между четырьмя городами, а затем сфотографируем эти города с высоты птичьего полета, то и в первом, и во втором случае это отношение будет одним и тем же. Эта величина х носит свое название, она называется сложным отношением четырех точек. Это число может быть, как положительным, так и отрицательным. Значение сложного отношения, равного (-1) представляет наибольший интерес. В этом случае оно называется гармоническим, а числа говорят, образуют, гармоническую четверку. То есть они расположены гармонично по отношению друг к другу, и в частности, длины отрезков играют некоторую роль в теории гармоники (в теории музыкальных инструментов).

Из простейших фигур евклидовой геометрии можно вспомнить треугольники, четырехугольники, окружности. Есть ли похожие понятия в проективной геометрии?

Начнем с аналога треугольника. Он называется трехвершинником. Трехвершинником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых, соединяющих попарно эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые — сторонами трехвершинника. Трехвершинник с вершинами А, В, С обозначается так: АВС (рис. 30).

Поскольку, как было сказано выше, точки прямые в проективной геометрии равноправны, можно ввести новую фигуру, дав ей следующее определение: фигура, состоящая из трех прямых, не лежащих на одной точке (то есть не проходящих через одну точку), и трех точек, соединяющих попарно эти прямые, называется трехсторонником.

Другая фигура проективной геометрии – это полный четырехвершинник, аналог четырехугольника.

Полным четырехвершинником называется фигура, состоящая из четырех точек проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и шести прямых, соединяющих попарно эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые — сторонами полного четырехвершинника. Стороны, не имеющие общей вершины, н азываются противоположными. В четырехвершиннике ABCD противоположными являются стороны АВ и CD, ВС и DA, АС и BD. Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными точками, а прямые, попарно соединяющие диагональ­ные точки,— диагоналями полного четырехвершинника (рис.31 ).

Особенностью диагональных точек является то, что они при любом расположении точек четырехвершинника не лежат на одной прямой.

Другая особенность заключается в определенной, никогда не меняющейся их связи с вершинами.

1) На каждой диа­гонали полного четырехвершинника диагональные точки гармо­нически разделяют две точки, в которых эта диагональ пересекает стороны, проходящие через третью диагональную точку.

2) Две вершины, лежащие на стороне полного четырехвершинника, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки и точки, в которой эта сторона пересекает диагональ, проходящую через две другие диагональные точки.

Следуя принципу двойственности, справедливо и третье утверждение.

3)Две противоположные стороны полного четы­рехвершинника гармонически разделяют две диагонали, проходящие через точку пересечения этих сторон.

Рассуждая по аналогии, можно заключить, что существуют и пятивершинники, и шестивершинники – как и в евклидовой геометрии выделяют многоугольники.

По аналогии с окружностью в проективной геометрии выделяется овальная кривая второго порядка. Она задается уравнением вида .

Ряд особенностей окружности сохраняется и для нее. Так, например, любая прямая, проходящая через внутреннюю точку овальной кривой, пересекает ее в двух точках, в любой точке овальной кривой существует касательная.

Проективная геометрия, как раздел геометрии, занимает свое особенное место в списке известных на настоящее время геометрий.

С вое практическое значение проективная геометрия реализовывает в различных проектах и архитектурных планах, в строительстве водонапорных башен и телевизионных матч.

Готовый вариант монастыря