5.2. Независимые события и их свойства.
Событие B называют независимым от событияA, если появление событияAне изменяет вероятностиB, т. е. если условная вероятность события B равна его безусловной вероятности:
PA(B) =P(B).
Справедливо и выражение:
PB(A) =P(A),
т. е. условная вероятность события A в предположении, что наступило событие B, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события B.
Итак, если событие Bне зависит от событияA, то и событиеAне зависит от событияB; это означает, чтосвойства независимости событий взаимно.
Для не зависимых событий теорема умножения P(AB) =P(A)PA(B) имеет вид
P(AB) =P(A)P(B),
т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Выше приведенную формулу умножения независимых событий, также принимают в качестве определения независимых событий.
Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называютзависимыми.
На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие» поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.
Свойство 1. Пусть события A и B – несовместны. Тогда независимы они будут только в том случае, если P(A) = 0 или P(B) = 0.
Свойство 2. Если события A и B независимы, то независимы и события Aи ~B, ~AиB, а также ~Aи ~B.
6.
- 1. Дискретное пространство элементарных событий. Операции над событиями.
- 2.1. Классическое определение вероятности.
- 2.2. Свойства вероятности.
- 3.1. Произвольное пространство элементарных событий.
- 3.2. Алгебра и σ - алгебра множеств.
- 3.3. Борелевские множества.
- 3.4. Вероятность.
- 4.1. Геометрическая вероятность.
- 5.1. Условные вероятности.
- 5.2. Независимые события и их свойства.
- 6.1. Формула полной вероятности.
- 6.2. Формула Бейеса.
- 7.1. Повторяющиеся испытания.
- 7.2. Формула Бернулли.
- 8.1. Случайные величины и функции распределения.
- 8.2. Свойства функции распределения.
- 9.1. Дискретные случайные величины.
- 9.2. Биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое распределения, распределения Пуассона.
- 10.1. Абсолютно-непрерывные случайные величины.
- 10.2. Равномерное распределение, нормальное распределение, показательное распределение.
- 11.1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
- 12.1. Дисперсия случайной величины и ее свойства.
- 13.1. Нормированные случайные величины.
- 13.2. Коэффициент корреляции.
- 14.1. Неравенства Чебышева.
- 15.1. Закон больших чисел.
- 16.1. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- 17.1. Теорема Пуассона.
- 18.1. Характеристические функции и их свойства.
- 19.1. Сходимость случайных величин и функций распределения.
- 20.1. Центральная предельная теорема.
- 21.1. Основные задачи математической статистики.
- 21.2. Выборка и вариационный ряд, полигон и гистограмма частот.
- 22.1. Эмпирическая функция распределения.
- 22.2. Эмпирические моменты.
- 22.3. Метод условных вариант.
- 23.1. Точечные оценки параметров распределения.
- 24.1. Метод моментов определения параметров распределения.
- 25.1. Метод максимального правдоподобия нахождения параметров распределения.
- 26.1. Некоторые распределения связанные с нормальным распределением: Пирсона, Стьюдента.
- 27.1. Интервальные оценки параметров распределения.
- 27.2. Нахождение доверительных интервалов для распределений Пуассона, биномиального, нормального.
- 28.1. Статистическая проверка статистических гипотез.
- 28.2. Ошибки первого и второго рода.
- 29.1. Оптимальный критерий.
- 29.2. Теорема Неймана-Пирсона.
- 30.1. Непараметрические критерии.
- 30.2. Критерий Колмогорова.
- 31.1. Критерий Пирсона.
- 31.2. Вычисление теоретических частот для различных видов распределений.
- 32.1. Элементы теории корреляции.
- 32.2. Понятие корреляционной зависимости.
- 32.3. Точечные оценки для условных математических ожиданий и коэффициента корреляции.
- 33.1. Цепи Маркова.
- 33.2. Матрица перехода.
- 34.1. Классификация состояний цепи Маркова.
- 34.2. Теорема солидарности.
- 35.1. Теорема о предельных вероятностях.
- 36.1. Случайные процессы.
- 36.2. Марковские процессы со счетным множеством состояний.
- 37.1. Локально-регулярные марковские процессы.
- 37.2. Система уравнений Колмогорова.
- 38.1. Применение теории марковских процессов к задачам теории массового обслуживания.
- 39.1. Процесс Пуассона.