Понятие парадокса.

Проблема выразимости отражает несоответствие естественного и искусственного языков, а также несоответствие между самими искусственными языками, относящимися к моделям разного уровня сложности. Эти несоответствия мы обнаруживаем в виде различных парадоксов.

Парадоксами будем называть текстовое утверждение, логическое следствие которого приводит к противоречиям.

Мы выделим два типа соответствия между языками моделей.

Первый тип. Согласно выводу 3, § 6, изоморфизм мыслимой модели на некоторою внешнюю модель дает возможность “воспринимать объект” или наоборот, “выражать мысль в виде каких-то внешних отношений”. При этом внешние отношения фиксируются в виде некоторого текста.

Второй тип. Соответствие между языками моделей представляется структурными изоморфизмами.

Рассмотрим текстовые противоречия с точки зрения нарушения одного из двух указанных типов соответствия между языками моделей на примерах известных парадоксов.

5. Содержание

   • Оглавление.
   • Пример 1
   • Пример 2
   • Пример 3
   • Вопрос.
   • Глава I Математический формализм
   • О понятии действительных чисел
   • Формализм натуральных чисел.
   • Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Аксиома связи сложения и умножения.
   • Задача 2.
   • Вывод 3.
   • Аксиоматизация множества действительных чисел.
   • Аксиома непрерывности Кантора.
   • Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
   • О“Началах” Евклида.
   • Аксиоматика д. Гильберта(1862-1943)
   • Группа 1. Аксиомы соединения.
   • Теорема 1.
   • Теорема 2.
   • Теорема 3.
   • Группа 2. Аксиомы порядка.
   • Определение.
   • Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
   • Теорема (о внешнем угле треугольника).
   • Определение движения.
   • Замечание 1.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Группа 4. Аксиомы непрерывности.
   • Замечание 2.
   • Замечание 3.
   • Вывод 3.
   • Группа 5. Аксиома параллельности.
   • Замечание 4.
   • Два недостатка аксиоматики д. Гильберта.
   • Структура векторного пространства.
   • Модель направленных отрезков.
   • Сложение обладает свойствами:
   • Свойства операции умножения:
   • Определение.
   • Арифметическая модель векторного пространства.
   • Теорема размерности.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Вывод 3.
   • Аксиомы скалярного произведения векторов.
   • Следствие.
   • Следствие.
   • Вывод 4.
   • Определение.
   • Модель Вейля евклидовой геометрии.
   • Арифметизация трехмерного евклидова пространства.
   • Свойства операции откладывания вектора.
   • Определение.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Многомерное арифметическое евклидово пространство.
   • Вывод 3.
   • Замечание.
   • Следствие 1.
   • Основные факты в планиметрии Лобачевского.
   • 1. Сумма углов многоугольника в плоскости l2.
   • Следствие 2.
   • Вывод 3.
   • Главаii Свойства аксиоматических систем.
   • Математические структуры и аксиоматические теории.
   • Понятие отношений между объектами.
   • Следствие 1.
   • Пример 1.
   • Определение.
   • Следствие 2.
   • Понятие математической структуры.
   • Определение.
   • Замечание 1.
   • Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
   • Рассмотрим пример.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Определение.
   • Изоморфизм.
   • Пример 1.
   • Пример 2.
   • Определение изоморфизма.
   • Вывод 3.
   • Вывод 1.
   • Независимость аксиоматической системы.
   • Независимость аксиомы параллельности.
   • Замечание 1.
   • Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом.
   • Определение (дедуктивной полноты).
   • Определение (категоричности).
   • Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
   • Анализ текстовых парадоксов.
   • Языковые свойства имен объектов.
   • Пример 1.
   • Пример 2.
   • Пример 3.
   • Проблема выразимости.
   • Понятие искусственного языка.
   • Понятие парадокса.
   • “Ахиллес и черепаха”.
   • Парадокс пустого множества.
   • Парадокс достижимости в натуральном ряде.
   • “Одно и то же, но по-разному”
   • Пример 1.
   • Пример 2.
   • Заключение.
   • Обозначения.
   • Литература