Парадокс достижимости в натуральном ряде.

Натуральный ряд N - это множество, определяемое системой аксиом Пеано, см. п.1.1. § 1. Элемент x будем называть достижимым, если этот элемент х=S(...S(S(1))) получен конечным числом операций последования S из первого элемента “1”.

Вопрос: всякий ли элемент x достижим? Для ответа воспользуемся аксиомой 5 “Математической индукции” аксиоматики Пеано, см. п.1.1. § 1. Пусть М - множество всех достижимых элементов: 1М, S(1) М; если xМ, то S(х)М. Следовательно, по аксиоме 5, заключаем, что МN, т.е. все элементы натурального ряда достижимы.

С другой стороны, как мы знаем, п.1.1. § 1, линейная цепь:

Т = 1, 2, ... , n, ... ; ..., а_-2, а _-1, а₀, а₁, а₂, ... ; ... ,

является моделью натурального ряда (все аксиомы Пеано выполняются). В этой модели второй и следующие за ним блоки имеют вид:

..., а_-2, а _-1, а₀, а₁, а₂, ...

и содержат недостижимые элементы. Получили противоречие с тем, что все элементы достижимы.

Покажем, что свойство достижимости, назовем его аксиомой Д, не зависит от аксиом Пеано, следовательно, не является логически выводимым в теории этой аксиоматики.

Пусть П= П₁, ... ,П₅ - аксиоматика Пеано, п.1.1, §1.

Модель Сколема Т реализует систему Аксиом П и отрицание аксиомы Д:Т=R₁П,Д. Модель десятичного систематического представления N натурального ряда реализует аксиомы П и Д:N=R₂(П,Д). Следовательно, согласно достаточным условиям независимости системы аксиом, п.7.3., §7, заключаем, что аксиома Д не зависит от П.

Вывод.

В теории аксиом Пеано свойство достижимости не доказуемо и не опровержимо, подобно тому, как в абсолютной планиметрии не доказуема и не опровержима аксиома параллельности.

8. Содержание

   • Оглавление.
   • Пример 1
   • Пример 2
   • Пример 3
   • Вопрос.
   • Глава I Математический формализм
   • О понятии действительных чисел
   • Формализм натуральных чисел.
   • Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Аксиома связи сложения и умножения.
   • Задача 2.
   • Вывод 3.
   • Аксиоматизация множества действительных чисел.
   • Аксиома непрерывности Кантора.
   • Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
   • О“Началах” Евклида.
   • Аксиоматика д. Гильберта(1862-1943)
   • Группа 1. Аксиомы соединения.
   • Теорема 1.
   • Теорема 2.
   • Теорема 3.
   • Группа 2. Аксиомы порядка.
   • Определение.
   • Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
   • Теорема (о внешнем угле треугольника).
   • Определение движения.
   • Замечание 1.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Группа 4. Аксиомы непрерывности.
   • Замечание 2.
   • Замечание 3.
   • Вывод 3.
   • Группа 5. Аксиома параллельности.
   • Замечание 4.
   • Два недостатка аксиоматики д. Гильберта.
   • Структура векторного пространства.
   • Модель направленных отрезков.
   • Сложение обладает свойствами:
   • Свойства операции умножения:
   • Определение.
   • Арифметическая модель векторного пространства.
   • Теорема размерности.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Вывод 3.
   • Аксиомы скалярного произведения векторов.
   • Следствие.
   • Следствие.
   • Вывод 4.
   • Определение.
   • Модель Вейля евклидовой геометрии.
   • Арифметизация трехмерного евклидова пространства.
   • Свойства операции откладывания вектора.
   • Определение.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Многомерное арифметическое евклидово пространство.
   • Вывод 3.
   • Замечание.
   • Следствие 1.
   • Основные факты в планиметрии Лобачевского.
   • 1. Сумма углов многоугольника в плоскости l2.
   • Следствие 2.
   • Вывод 3.
   • Главаii Свойства аксиоматических систем.
   • Математические структуры и аксиоматические теории.
   • Понятие отношений между объектами.
   • Следствие 1.
   • Пример 1.
   • Определение.
   • Следствие 2.
   • Понятие математической структуры.
   • Определение.
   • Замечание 1.
   • Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
   • Рассмотрим пример.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Определение.
   • Изоморфизм.
   • Пример 1.
   • Пример 2.
   • Определение изоморфизма.
   • Вывод 3.
   • Вывод 1.
   • Независимость аксиоматической системы.
   • Независимость аксиомы параллельности.
   • Замечание 1.
   • Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом.
   • Определение (дедуктивной полноты).
   • Определение (категоричности).
   • Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
   • Анализ текстовых парадоксов.
   • Языковые свойства имен объектов.
   • Пример 1.
   • Пример 2.
   • Пример 3.
   • Проблема выразимости.
   • Понятие искусственного языка.
   • Понятие парадокса.
   • “Ахиллес и черепаха”.
   • Парадокс пустого множества.
   • Парадокс достижимости в натуральном ряде.
   • “Одно и то же, но по-разному”
   • Пример 1.
   • Пример 2.
   • Заключение.
   • Обозначения.
   • Литература