§ 4. Сводка результатов: от Эйлера до Куммера

Уже доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 3 не элементарно. Впервые полученное Эйлером, оно в течение многих лет остава­лось идейным источником для дальнейших обобщений и модификаций.

1. Доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 3. Пусть нашлись такие x, y, z  Z, что z³ = x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) . Рассмотрим последовательно два случая.

I. x , y, z не делятся на 3. Воспользуемся известным фактом: a³  a (mod 3), в котором легко убедиться непосредственно, рассмотрев все возможности a  0, a  1, a  –1 (mod 3) и проверив, что a³  0, a³  1, a³  –1 (mod 3) соответственно. Поэтому z  z³ = x³ + y³  x + y (mod 3), т.е. z = x + y + 3u для некоторого целого числа u. Отсюда получаем

x³ + y³ = z³ = (x + y + 3u)³ = (x + y)³ + 9(x + y)²u + 27(x + y)u² + 27u³ =

= x³ + 3x²y + 3xy² + y³ + 9k = x³ + y³ + 3xy(x + y) + 9k.

Значит, 3xy(x + y) + 9k = 0, т.е. xy(x + y) = –3k и xyz  xy(x + y)  0 (mod 3), вопреки тому, что x, y, z не делятся на 3.

II. xyz  3. Без ограничения общности можно считать, что z  3 : если, например, x  3, то y³ + (–z)³ = (–x)³, т.е. x, y, z можно менять местами. Кроме того, ввиду попарной взаимной простоты чисел x, y, z можно считать, что x, y не делятся на 3.

Из z³ = (x + y)(x² – xy + y²) = (x + y)((x + y)² – 3xy)  (x + y)³ (mod 3) следует, что x + y  3. Пусть z = 3t, x + y = 3s. Тогда

27t³ = 3s(9s² – 3x(3s – x)), 3t³ = s(3s² – 3sx + x²).

При этом 3s² – 3sx + x² 3(иначе x  3), так что s = 3u и получается равенство t³ = u(x² – 9ux + 27u³). Ясно, что числа u и x² – 9ux + 27u³ взаимно простые: если p – их общий простой делитель, то p | x², т.е. p – общий делитель 9u = x + y и x² , а значит, p – общий простой делитель x и y – противоречие. Итак, произведение взаимно простых чисел u(x² – 9ux + 27u³) является кубом целого числа. По следствию из основной теоремы арифметики (§ 1 главы I), u = v³, x² – 9ux + 27u³ = n³ для некоторых целых чисел v, n.

Здесь и проявилась гениальность Эйлера: его идея состояла в том, чтобы разложить на множители величину x² – 9ux + 27u³, что не удаётся сделать в обычных целых числах. Для этого можно рассмотреть квадратное уравнение ² – 9 + 27 = 0, полученное при  = и найти его корни

₁ = = 3(2 + ),

₂ = = 3(1 – ),

где  = . Итак, ² – 9 + 27 = ( – ₁)( – ₂) и

x² – 9ux + 27u³ = (x – 3(2 + )u)(x – 3(1 – )u) =

= (x – 6u – 3u)(x – 3u + 3u) = n³.

Таким образом, имеем разложение куба в произведение двух множителей в числах K = {a + b  C | a, b  Z}. Сам Эйлер сделал отсюда вывод о том, что множитель x – 3(1 – )u является кубом (k + m)³ , где k, m  Z , т.е.

x – 3(1 – )u = (k + m)³ 

 x – 3u + 3u = k³ + 3k²m + ²3km² + ³m³.

Учитывая, что ² = = = – – 1 и ³ = ² = (– – 1) = –² –  =  + 1 –  = 1, получаем

x – 3u + 3u = k³ + 3k²m + ²3km² + ³m³ 

 x – 3u + 3u = k³ + 3k²m – ( + 1)3km² + m³ 

 x – 3u + 3u = (k³ – 3km² + m³) + (3k²m – 3km²) 

 .

Из взаимной простоты целых чисел u, x следует взаимная простота целых чисел k, m, что вместе с полученным ранее условием u = v³ даёт разложение v³ = km(k – m) куба целого числа в произведение трёх попарно взаимно простых целых чисел. Поэтому k = p³, m = q³ и k – m = r³ для некоторых p, q, r  Z, т.е. p³ = r³ + q³ – равенство, аналогичное исходному, причём модули чисел p, q, r меньше |v| < |v|³ = |u| = < |z| = |x + y||x² – xy + y²|. Таким образом, для завершения доказательства Великой теоремы Ферма при n = 3 можно применить метод бесконечного спуска.

Теорема доказана.

2. Необходимые уточнения. Приведённое рассуждение не вполне корректно. Так, например, в обосновании нуждается даже вывод о том, что

x – 3u + 3u = (k³ – 3km² + m³) + (3k²m – 3km²)  .

Для этого нужно доказать, что из a + b = c + d, где a, b, c, d  Z, следуют равенства a = c и b = d. Это сделать легко: если b  d, то  =  Q , что невозможно, ибо  =  R .

Существенный пробел доказательства состоит в выводе

(x – 3(1 – )u)(x – 3(2 + )u) = n³  x – 3(1 – )u = (k + m)³.

Подобное утверждение для целых чисел можно вывести на основании основной теоремы арифметики и только при условии взаимной простоты сомножителей. Следовательно, для завершения доказательства Эйлера нужно развить теорию делимости для чисел из множества K = {a + b  C | a, b  Z} и доказать основную теорему арифметики. Это тем более необходимо, если учесть, что для чисел вида a + ib (a, b  Z), очень похожих на числа из K, однозначность разложения, вообще говоря, не выполнена:

4 = 22 = (1 + i)(1 – i).

Не имея возможности дать полное и подробное обоснование однозначности разложения в произведение простых множителей в K, наметим лишь канву рассуждений со всеми необходимыми определениями и примерами, в которых видна идея общего рассуждения.

а. множество K замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и сопряжения: = (p – q) – q  K ,

(p + q) ± (r + s) = (p ± r) + (q ± s)  K ,

(p + q)(r + s) = pr + (qr + ps) + ²qs =

= pr + (qr + ps) + (– – 1)qs = (pr – qs) + (qr + ps – qs) K .

Здесь использованы равенства: = –1 – ,

² = = – 1 – .

Подмножества в C , замкнутые относительно сложения, вычитания и умножения, называются числовыми кольцами. Значение их в том, что с их элементами можно производить вычисления почти как с целыми числами.

Для удобства в дальнейшем при p, q  Z будем, как обычно, отождествлять числа p + q  C и p + q  K, а также p  Z и p + 0  K, q  C и 0 + q  K.

б) Пусть  ,   K,   0. Говорят, что  делит  или  кратно , если  =  для некоторого   K . Аналогично целым числам вводятся понятия общего делителя и общего кратного нескольких элементов.

Элемент   K \ {0} называется обратимым, если обратный элемент  ^–1 , который существует в С, лежит в K . Например, (²) =  = 1, т.е.  – обратимый элемент в K с обратным ² = –1 + (–1)  K.

Элементы , , … ,   K называются взаимно простыми, если любой их общий делитель обратим. Они называются попарно взаимно простыми, если любые два из них взаимно простые.

Элемент π  K называется простым, если в любом разложении π =  ( ,   K) один из множителей  ,  обратим, т.е. разложение тривиально. Не всякое простое целое число будет простым в K : 3 = (i)(–i) = = (1 + 2)(–1 – 2), причём элементы –1 – 2, 1 + 2 не обратимы: например, (1 + 2)^–1 =  K, т.к. из равенства = m + n = = m + n получим невозможное 2i = 6m – 3n + i3n.

Два элемента ,   K называются ассоциированными, если  =  для некоторого обратимого элемента   K. В этом случае пишут  ~ .

в) Для элемента  = p + q  K определим норму

N() = (p + q)(p + ²q) = p² +( + ²)pq + q² = p² – pq + q²  Z ,

которая на самом деле совпадает с квадратом модуля комплексного числа  : p + ²q = p + q = . Таким образом, N() =  = ||²  0, и справедливы следующие свойства квадрата модуля:

(N1) N() = 0   = 0;

(N2) N()N() = ||²||² = ||² = N();

(N3) N(1) = 1.

г) Лемма (об обратимых элементах). Следующие условия для элемента   K эквивалентны:

(1) элемент   K обратим;

(2) N() = 1;

(3)   {1, –1, , –, ², –²}.

д) Теорема (о делении с остатком). В числовом кольце K выполняется алгоритм деления с остатком относительно нормы, т.е. для любых   K,   K \ {0} существуют такие  ,   K , что  =  +  и N() < N().

Пример: Разделим  = 2 – 5 на  = 3 + 2 с остатком.

Вначале вычислим частное обычных комплексных чисел

.

Теперь найдём ближайшие целые числа к дробям и : –1 и –3 соответственно и образуем число  = –1 + (–3). Поэтому  =  +  , где

 =  –  = 2 – 5 – (3 + 2)(–1 + (–3)) = 2 – 5 + 3 + 11 + 6² =

= 5 + 6 – 6( + 1) = –1 + 0,

причём N() = N(–1 + 0) = (–1)² – (–1)0 + 0² = 1 < 3² – 32 + 2² = 7 = N().

Таким образом, частное  = –1 + (–3), и остаток  = –1 + 0.

е) Лемма (основное свойство простых элементов). Если π – простой в K элемент и π | … , где  , , … ,   K , то π делит один из сомножителей  ,  , … ,  .

ж) Лемма (о простых числах). (1) Элемент π = x + y – простой в K тогда и только тогда, когда

– либо π ~ p для некоторого простого натурального числа p, неразложимого в K,

– либо N(π) = (x + y)(x + y) = p – простое натуральное число. Все остальные элементы с нормой p имеют вид π или  для обратимого элемента   K .

Пример: Найдём все простые элементы в K с нормой 13.

Если π = x + y – простой элемент в K и N(π) = 13 = x² – xy + y² = 13, то x² – xy + y² – 13 = 0 – уравнение для x, и D = y² – 4(y² – 13) = 52 – 3y²  0, т.е. 3y²  52, |y|  4 (x , y  Z). При y = 1 находим x = –3, т.е. π = –3 + .

Значит, в K число 13 = (–3 + )(–3 + ) = (–3 +)(–4 – ) разложимо в произведение простых сомножителей: если, скажем, –4 –  = –3 + =, то N(–4 – ) = 13 = N() = N()N(), значит, N() = 1 или же N() = 1 т.е. один из элементов  ,  обратим.

Значит, остальные простые элементы с нормой 13 имеют вид π или для обратимых элементов   {±1, ±, ±²}, т.е.

π = (–3 + ) = –3 –  – 1 = –1 – 4, =(–4 – ) = 1 – 3,

²π = ²(–3 + ) = ( + 1)3 + 1 = 4 + 3 , ²=²(–4 – ) = 3 + 4.

В итоге получаем все элементы с нормой 13:

±(3 – ), ±(4 + ), ±(1 + 4), ±(1 – 3), ±(4 + 3), ±(3 + 4).

з) Теорема (основная теорема арифметики кольца K). (1) Любой ненулевой элемент из K либо обратим, либо является произведением некоторого обратимого и нескольких простых элементов из K.

(2) Такое разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей и ассоциированности: если π₁ … π_s = ₁ … _t , то s = t и после перестановки сомножителей справедливы равенства π_i = _i_i (1  i  s),  = ₁ … _s для некоторых обратимых элементов ₁ , … , _s  K .

Пример: Найдём каноническое разложение элемента  = 126 – 68.

Ясно, что 126 – 68 = 2(63 – 34), причём 2 – простой элемент в K: если 2 =  , то N()N() = 4, т.е. N() = 2 = N(), что невозможно, т.к. квадратное уравнение x² – yx + y² = 2 относительно x не имеет решений ввиду того, что его дискриминант D = 8 – 3y² не является квадратом целого числа при y  Z.

Разложим  = 63 – 34. Вначале разложим на множители число = =N(63 – 34) = 63² + 6334 + 34² = 7267 = 13²43. Таким образом, в разложение  могут входить лишь простые элементы, участвующие в разложениях простых натуральных чисел 13 и 43.

Число 13 уже было разложено выше: 13 = (–3 + )(–4 – ). Если разделить  на –4 – , то , т.е. деления нацело нет. Однако при делении на –3 +  имеем:

= –22 +3.

Таким образом,  = (–3 + )(–22 + 3). Остаётся разложить  = –22 + 3 c нормой N(–22 + 3) = N() / 13 = 1343.

Снова поделим на простое число –3 +  с нормой 13:

= 7 + .

Значит,  = (–3 + )(7 + ), где N(7 + ) = 43 – простое натуральное число, так что 7 +  – простой элемент в K.

Итак,  = 126 – 68 = 2(–3 + )²(7 + ) – каноническое разложение в K.

и) Следствие (о разложении степени). Если в K некоторая степень разложена в произведение необратимых попарно взаимно простых сомножителей: zⁿ = u₁ … u_k , то каждый сомножитель u_i является (с точностью до обратимого множителя) той же степенью подходящего элемента из K: u_i = _it_iⁿ , (1  i  k), z = t₁ … t_k , ⁿ = ₁ … _k .

Основываясь на этих результатах, закончим обоснование гениальной догадки Эйлера.

В полученном разложении (x – 3u + 3u)(x – 6u – 3u) = n³ сомножители x – 3(1 – )u и x – 3(2 + )u взаимно просты. Действительно, любой их общий простой в K делитель π делит и комбинации

(x – 3(1 – )u) – (x – 3(2 + )u) = 3(2 +  – 1 + )u = 3(1 + 2)u,

(2 + )(x – 3(1 – )u) – (1 – )(x – 3(2 + )u) = (1 + 2)x.

Он не может делить u и x, т.к. иначе u² = N(u)  N(π) и x² = N(x)  N(π), вопреки взаимной простоте целых чисел u, x. Значит, π | (1 + 2) – простое в K с нормой 3, и можно считать, что

π = 1 + 2 = 1 –  + 3 = 1 –  + (1 – )(1 – ) =

= (1 – )(1 + (1 – )) = (1 – ),

т.е. π | (1 – ). Из π | (x – 3(1 – )u) получаем π | x , N(π) | N(x) или 3 | x² – противоречие с выбором x 3.

Итак, n³ = (x – 3(1 – )u)(x – 3(2 + )u) – разложение куба в произведение двух взаимно простых в K множителей. Значит,

x – 3(1 – )u = (k + m)³ =  ^e(k + m)³ (e  {0, 1, 2})

для некоторых целых k, m и обратимого   {1, , ²} . Здесь учтено, что (–(k + m)³ = (–k – m)³). Более подробно, правая часть равна:

e = 0: k³+3k²m+3²km²+m³ = (k³–3km²+m³)+3km(k–m);

e = 1: ((k³–3km²+m³)+3km(k–m)) = –3km(k–m)+(k³–3k²m+m³);

e = 2: ²((k³–3km²+m³)+3km(k–m)) = –k³+3k²m–m³–(k³–3km²+m³).

Последние два случая невозможны, в чём легко убедиться, рассматривая полученное равенство по модулю 3: при e = 1 имеем x – 3u = –3km(k–m), т.е. x  3 – противоречие, а при e = 2 получаем 3u = –k³+3km²–m³, т.е. k³ + m³ делится на 3, так что из x – 3u = –k³+3k²m–m³ снова x  3 – противоречие.

Итак, x – 3(1 – )u = (k + m)³, и доказательство Эйлера полностью обосновано (по модулю сформулированных выше свойств кольца K).

Таким образом, для решения проблемы Ферма о натуральных числах Эйлером были привлечены числа другой природы: комплексные числа вида a + b, где a, b  Z,  = . Здесь  – корень уравнения x³ = 1, и можно доказать, что каждое число  = a + b удовлетворяет некоторому кубическому уравнению с целыми коэффициентами: ( – a)³ = (b)³ = b³, т.е. ³ – 3²a + 3a² – a³ – b³ = 0.

Любое комплексное число   С , удовлетворяющее уравнению с целыми коэффициентами, называется алгебраическим. Таким образом, Эйлером был заложен фундамент теории алгебраических чисел, бурное развитие которой продолжается до сих пор.

3. Метод Куммера. По лемме об уравнении xⁿ + yⁿ = zⁿ , Великую теорему Ферма осталось доказать для любого нечётного простого числа p. Идея Эйлера позволила (усилиями А. Лежандра и Г. Ламе) доказать Великую теорему Ферма для n = 5, 7, 11 и 13, но общего доказательства на этом пути получить не удалось. Только Э. Куммер в середине XIX в. сумел обобщить эту идею и получить метод дающий доказательство для всех, так называемых, регулярных простых показателей (см. [1]) (в частности, для всех показателей, меньших 100).

Куммер исходил из аналогичного рассмотренному выше в доказательстве Эйлера разложения x^p + y^p = (x + y)(x + y) … (x +  ^p–1y), где  ^p = 1 ,  = . Таким образом, можно рассмотреть числовое кольцо K_p = { C | a_k  Z (0  k  p – 1)}. Если бы удалось доказать, что это кольцо с однозначным разложением в произведение простых элементов, то Великая теорема Ферма была бы доказана.

Проблема состоит в том, что однозначность разложений в произведение простых элементов в кольце K_p выполняется не всегда. Чтобы преодолеть эту преграду Куммер применил метод расширения множества K_p до полугруппы Д идеальных объектов, называемых ныне дивизорами, в которых разложение на множители однозначно. В доказательстве Эйлера, ввиду основной теоремы арифметики, справедливой в кольце K, достаточно было взять Д = K \ {0}, но в общем случае всё не так просто.

Такая конструкция расширения K_p  Д была обоснована им для регулярных простых чисел p, одна из возможных характеризаций которых такова: нечётное простое число p регулярно тогда и только тогда, когда для любого чётного k = 2, 4, … , p – 3 число 1^k + 2^k + … + (p – 1)^k не делится на p².

Примеры: 1. p = 3 регулярно, т.к. нет чисел k.

2. p = 5 регулярно, т.к. для k = 2 имеем 1² + 2² + 3² + 4² = 30 5².

3. Среди простых чисел первой сотни не регулярны только 37, 59, 67. Для них Куммер доказал Великую теорему Ферма отдельно.

Хотя метод Куммера позволяет доказать Великую теорему Ферма для широкого класса показателей, но до сих пор не известно, является ли множество регулярных простых чисел бесконечным. С появлением ЭВМ проверка регулярности стала возможной для очень больших чисел n  2¹²⁵⁰⁰⁰, так что горизонт показателей, для которых Великая теорема Ферма доказана методом Куммера, существенно расширился, но не стал беспредельным.