6. Перетин поверхні площиною

6.1. Перетин граних поверхонь площиною. Результатом перетину граної поверхні з площиною є замкнута ламана лінія. Для побудови точок цієї лінії використовують допоміжні січні площини або інші методи в залежності від конкретних умов задачі. Головним елементом рішення задач є визначення точок, які одночасно належать до січної площини та геометричної поверхні.

Приклад 1. Побудувати лінію перетину призми площиною Г.

Г– площина загального положення.

Призма розташована на П₁.

Її бічні грані – горизонтально-проекцюючі площини, а ребра – горизонтально-проекцюючі прямі, які мають на П₁ збиральні властивості, а тому горизонтальна проекція лінії перетину співпадає з проекцією

Рис. 6.1 призми на П₁.

1. A₁≡1₁; B₁≡2₁; C₁≡3₁; D₁≡4₁.

Подальше розв’язання задачі зводиться до побудови фронтальних проекцій точок 1, 2, 3, 4, які одночасно належать призмі і площині Г. Для цього використовуємо фронталі площини Г.

2. f₂^/×A₂E₂=1₂.

3. f₂×B₂M₂=2₂.

4. f₂^///×C₂N₂=3₂.

5. f₂^//×D₂K₂=4₂.

На П₂ з’єднуємо 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ відрізками прямих, враховуючи те, що 2₂ є невидима.

1₂3₂,3₂4₂ – видимі.

1₂2₂, 2₂4₂ – невидимі (рис. 6.1).

Приклад 2. Побудувати лінію перетину піраміди з площиною ∑ та визначити натуральну величину перерізу (рис. 6.2).

Аналіз графічної умови:

-∑ - фронтально-проекцююча площина, а тому ∑_п2 має збиральну властивість;

- у зв’язку з цим позначаємо точки перетину ∑_п2 з боковими ребрами піраміди;

- натуральну величину визначаємо методом заміни площин проекцій.

1. ∑п₂×S₂A₂=1₂;

∑п₂×S₂B₂=2₂;

∑п₂×S₂C₂=3₂.

2. 1₁ є S₁A₁;

2₁ є S₁B₁;

3₁ є S₁C₁.

3. П₁→П₄;

х_2.4║1₂2₂3₂;

Рис. 6.2 ∆1₄2₄3₄ – НВ.

6.2. Перетин поверхонь обертання площиною. В результаті перетину поверхонь обертання площиною утворюється замкнута крива лінія. Загальна послідовність розв’язання задач полягає у наступному:

1) використовуємо допоміжні січні площини окремого положення;

2) будуємо лінію перетину заданої поверхні з допоміжною січною площиною;

3) будуємо лінію перетину допоміжної і заданої площин;

4) позначаємо точки перетину лінії перетину поверхні з допоміжною площиною з лінією перетину площин.

Приклад: Побудувати лінію перетину конусу з площиною ∑ (рис. 6.3).

План розв’язання.

1. Будуємо проекції крайньої верхньої та нижньої точок перетину, використовуючи допоміжну горизонтально-проекцюючу площину Г.

1. Г┴П₁.

2. Г₁┴∑п₁;

Г₁ є S₁.

3. Г₁×K₁=1₁2₁.

4. Г×∑=3,4.

5. 3₂4₂×S₂2₂=A₂;

3₂4₂× S₂1₂=B₂.

6. A₁B₁ є Гп₁.

2. Будуємо проекції крайньої правої та лівої точок лінії перетину. Для цього використовуєо допоміжну січну площину ∆║П₂.

7. ∆║П₂;

∆П₁║х;

∆П₁ є S₁.

8. ∆×∑= f;

f₂×S₂5₂=C₂;

f₂×S₂6₂=D₂;

C₁D₁ є ∆П₁.

9. Θ║ П₁;

Θ×K= R.

10. Θ×∑=h;

h₁×R₁=E₁, F₁;

E₂, F₂ є Θ₂.

Рис. 6.3

На П₁ лінія перетину – видима замкнута крива.

На П₂ лінія перетину має дві частини: видиму і невидиму.

Межові точки видимості – крайня права і ліва точки (С₂, D₂)

А₂, Е₂ – видимі

С₂, D₂, B₂, F₂ – невидимі.

6.3. Перетин прямої та поверхні. В результаті перетину прямої та поверхні утворюються дві точки: входу та виходу.

Для побудови їх проекцій необхідно:

1) пряму заключити у допоміжну січну площину окремого положення;

2) побудувати лінію перетину поверхні з допоміжною площиною;

3) позначити точки перетину заданої прямої з лінією перетину поверхні площиною;

4) визначити видимість прямої, яка на інтервалі точок входу-виходу невидима.

Приклад 1. Побудувати точки перетину прямої l та піраміди (рис. 6.4).

1. l є Г;

Г┴П₂.

2. 1₂2₂3₂ є Г₂.

3. 1₁ є S₁A₁;

2₁ є S₁B₁;

3₁ є S₁C₁.

4. l₁×1₁3₁=K₁;

l₁×2₁3₁=L₁;

K₂, L₂ є Г₂. Рис. 6.4

Деякі задачі розв’язують за допомогою методу заміни площин проекцій.

Приклад 2. Побудувати точки перетину прямої l та сфери (рис. 6.5).

1. П₁/П₂→П₁/П₄;

х_1.4║А₁В₁;

K₄L₄.

2. K₁L₁; K₂L₂.

Рис. 6.5