logo
lekts_yi

7. Взаємний перетин поверхонь

7.1. Перетин граних поверхонь. Результатом перетину граних поверхонь є замкнута ламана лінія. Для побудови проекцій точок цієї лінії використовують 2 методи:

1) будують точки перетину ребер однієї поверхні з гранями іншої (рішення задачі на перетин прямої та площини);

2) визначають лінії перетину граней першої поверхні з гранями іншої (рішення задачі на визначення ліній перетину двох площин).

Приклад. Побудувати лінію перетину трьохграної призми АВС з нахиленої пірамідою SEBDF (рис. 7.1).

Аналіз графічної умови.

Призма АВС перпендикулярна П1, тому її бокові грані горизонтально-проекцюючі площини. На цій підставі горизонтальні проекції граней мають збиральні властивості. Тому позначаємо точки перетину ребер піраміди з гранями призми.

1. S1E1×A1B1=11;

S1E1×B1C1=21;

S1F1×A1B1=31;

S1F1×B1C1=41.

2. 12; 22 є S2E2;

32;42 є S2F2.

Рис. 7.1

Ребро призми В перетинає дві грані піраміди CDE та CDF. Для визначення точок перетину використовуємо пряму лінію і з’єднуємо S1B1.

3. S1B1×E1D1=51;

S1B1×F1D1=61;

S2 є E2D2;

S252×B2=72;

71≡B1.

  1. 62 є F2D2;

S262×B2=82;

81≡B1≡71.

На П2 з’єднуємо точки перетину з урахуванням їх видимості:

1272;2272;3282;4282 – видимі;

1232;2242;3242;8272 – невидимі

7.2. Перетин поверхонь обертання. В результаті взаємного перетину поверхонь обертання утворюється замкнута крива лінія. Для побудови її проекцій використовують два методи:

1) метод допоміжних січних площин рівня;

2) метод допоміжних січних концентричних сфер.

Метод допоміжних січних площин рівня використовується, якщо:

1) обидві поверхні є поверхнями обертання;

2) вісі обертання обох поверхонь не перетинаються.

Суть методу полягає в тому, що в результаті перетину січних площин і кожної поверхні утворюються прості лінії – твірні або кола, які в свою чергу також перетинаються і дають положення проекцій точок, які належать лінії перетину поверхонь.

Приклад. Побудувати лінію перетину конусу і сфери (рис. 7.2).

План розв’язання.

1. Будуємо проекції точок перетину крайньої правої твірної конусу і сфери та їх горизонтальні проекції:

1222;

1121.

2. На П2 будуємо фронтальний слід допоміжної січної площини ∑:

∑2║х;

∑2×К2=R2;

∑2×Сф2=r2;

R1×r1=31;31/;

32;32/ є O2;

3. ∑2/║х;

∑2/× К2=R2/;

∑2/×Сф2=r2/; Рис. 7.2

R1/×r1/=41/;41;

42;42/ є ∑2/.

4. На П2 лінія перетину – видима крива. На П1 – лінія перетину складається з двох частин: видимої та невидимої.

Видимі точки: 11, 31, 31/, 41, 41/ на П2 розташовані над екватором сфери. 42, 42/ - на екваторі, тому є межовими точками видимості. Невидимі на П1: 41, 41/, 21, 51, 51/ – на П2 розташовані під екватором сфери.

Метод допоміжних січних концентричних сфер використовується, якщо:

1) обидві поверхні є поверхнями обертання;

2) вісі симетрії (обертання) обох поверхонь перетинаються;

3) обидві поверхні мають загальну площину симетрії.

Приклад. Побудувати лінію перетину прямого конусу та нахиленого циліндру (рис. 7.3).

План розв’язання:

1) розв’язання задачі виконують на П1; горизонтальні проекції точок лінії перетину визначають як недостатні проекції точок, які належать поверхні конусу (методом твірної або допоміжної січної площини рівня); тому, по-перше, визначають положення точок перетину крайньої правої твірної конусу і твірної циліндра: Рис. 7.3

1222;

2) з центру О2 будують сферу 1, дотичну до правої твірної конусу. З точки дотику проводимо допоміжну пряму, паралельно до основи конусу;

3) з’єднують прямою точки перетину сфери 1 з твірними циліндру; ця лінія перетинає попередню і отримуємо проекції точок лінії перетину поверхонь:

Сф1; 3232/;

4) збільшуємо радіус сфери 1 на 2-3 мм і з центру О2 будуємо сферу 2, концентричну до сфери 1:

Сф2;

5) з точок перетину сфери 2 та твірної конусу будують допоміжні горизонтальні прямі; з’єднують точки перетину сфери 2 з твірними циліндру; остання пряма перетинає дві попередні і отримуємо положення проекцій точок лінії перетину поверхонь:

42, 42/;

52, 52/;

6) з’єднують плавною лінією 124242/3232/5252/22; лінія перетину на П2 – видима.

7.3. Перетин граних поверхонь з поверхнями обертання. В результаті перетину утворюється замкнута крива лінія. Для визначення проекцій точок цієї лінії використовують метод допоміжних січних площин рівня, які перетинають обидві поверхні.

Результатом перетину граної поверхні з січною площиною будуть прямі лінії, а результатом перетину з поверхнею обертання – коло. Прямі лінії перетинаються з відповідними колами і утворюються проекції точок, які належать до лінії перетину поверхонь.

Приклад. Побудувати лінію перетину конусу і призми (рис. 7.4).

Аналіз графічної умови:

Призма АВС перпендикулярна П2, а тому фронтальна проекція лінії перетину поверхонь буде розташована на фронтальній проекції призми і подальше розв’язання задачі зводиться до побудови точок лінії перетину поверхонь. Для цього використовують допоміжні горизонтальні січні площини рівня Г║П1.

1. Г║П1.

2. Г2║х;

Г2 є В2;

Г2×К2=R2;

R1×B1=11, 11/;

12, 12/≡B2.

3. Г2/║х;

Г2/×А2В2=22, 22/;

Г2/×В2С2=32, 32/;

21, 21/, 31, 31/.

4. Г2// є А2С2. Рис. 7.4

5. А2≡42≡42/; В2≡52≡52/;

41, 41/, 51, 51/.