Преобразование Уолша-Адамара

Существуют различные способы определения функций Уолша. Рассмотрим способ, основанный на взаимосвязи функций Уолша с функциями Радемахера. Последние определяются так:

где   – безразмерное время ( ), k є N – порядок (номер) функции,

Система функций Радемахера ортонормированна на интервале (0,1), то есть

однако неполна.

Функции Уолша, образующие полную ортонормированную систему, теперь можно определить так:

где «(+)» – сложение по модулю 2; w – порядок (номер) функции; n=log₂ N, где N=2ⁿ – количество функций системы; w_i – i-тый разряд двоичного представления порядка функции w (отсчёт слева, начиная с 0).

Функции Уолша могут служить базисом для спектрального представления сигнала, то есть любую интегрируемую на интервале   функцию можно представить рядом по системе функций Уолша:

с коэффициентами

Способ нумерации функций в системе называется упорядочением. Функции Уолша, сформированные в соответствии с выражением (5), упорядочены по Уолшу. На практике также применяетсяупорядочение по Адамару (had(h,Эта)) и по Пэли (pal(p,Эта)).

Функции had(h,Эта) можно сформировать с помощью матрицы Адамара. Матрицей Адамара H_N порядка N=2ⁿ, n є N называется квадратная матрица размера N x N с элементами +1 такая, что

H_N x H_N^T = N x E,

где H_N^T – транспонированная матрица, E – единичная матрица; при этом H₁=1.

Матрицу Адамара легко построить рекурсивно, так как:

Функция Уолша, упорядоченная по Адамару (had(h,Эта)) с номером h, является последовательностью прямоугольных импульсов длительностью 1/N от интервала (0,1) с единичными амплитудами и полярностями, соответствующими знакам элементов h-той строки матрицы Адамара.

Для цифрового анализа сигнала используются дискретные функции Уолша, которые являются отсчётами соответствующих непрерывных функций. Каждый отсчёт расположен в середине связанного с ним элемента непрерывной функции длительностью 1/N от интервала (0,1). Дискретные функции Уолша, упорядоченные по Уолшу, можно определить так:

где x_k – k-тый разряд в представлении номера отсчёта x в двоичной системе счисления:

Другой формой представления дискретных функций Уолша является матрица Адамара, номера столбцов которой соответствуют номерам дискретных значений (отсчётов) функций Уолша, а номера строк – номерам функций Уолша.