№17. . Алгебраические уравнения, теорема Гаусса.

Алгебраическое уравнение — уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений.

Алгебраическое выражение — выражение, составленное из букв. Чисел, скобок, соединенных знаками алгебраических операций: +, -, *, :, возведение в степень, извлечение корня.

Примеры алгебраических уравнений:

X²+XY+Y²-X+1=0 ;   =2

 Алгебраическое уравнение с одним неизвестным может быть преобразовано к виду (1):

a₀ + a₁x + a₂x² + …+ a_nxⁿ = 0

Способы решения таких уравнений первой и второй степени известно еще из древности. В XVI в. были найдены способы решения уравнений третьей и четвертой степени.

Основная теорема алгебры (теорема Гаусса).

Любое алгебраическое уравнение (1) степени N имеет N решений (корней) действительных или мнимых, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Корень многочлена  a₀ + a₁x + a₂x² + …+ a_nxⁿ  ( a_n0) — это число z₀, такое, что:

a₀ + a₁ z + a₂ z² + …+ a_n zⁿ = 0

Свойство корня:

Число z₀ — корень (1)  многочлен (1) можно представить в виде

(x - z₀) (b₀ + b₁x + b₂x² + …+ b_n-1x^n-1),

 то есть (1) делится на (x - z₀)  без остатка.

Если  (1) делится на (x - z₀)^k, но не делится на (x - z₀)^k+1, то z₀ называется корнем кратности k, при этом

(x - z₀)^k (b₀ + b₁x + b₂x² + …+ b_n-kx^n-k).

Доказано, что решения уравнений степени выше четвёртой нельзя выразить через коэффициенты уравнения при помощи алгебраических действий.