Оптимизация на Excel

Задача 3.

Постановка задачи. Cоставить алгоритм нахождения с требуемой точностью  экстремума функции f(X) двух переменной градиентным методом с адаптацией шага.

Рис. 2.3. Содержание ячеек при реализации симплекс-метода

Продолжение рис. 2.3

Рис. 2.4. Результаты реализации симплекс-метода

Алгоритм метода.

1. Начальный этап. Задают начальную точку X⁽⁰⁾, начальный шаг ⁽⁰⁾, k = 0.

2. Расчет параметров метода на k-ой итерации. Рассчитываются значения функции, первых производных. Определяются единичные направления по выражению

, .

Определяется текущее направление движения Napr по таблице

s₁	s₂	Napr
>0	>0	ArcTn(s₂/s₁)/180
>0	<0	ArcTn(s₂/s₁)/180+360
<0	>0	ArcTn(s₂/s₁)/180+180
<0	<0	ArcTn(s₂/s₁)/180+180

Если k = 0, то переход к этапу 4, иначе к этапу 3.

3. Проверка условия окончания метода и адаптация шага.

Если |f(X⁽^k⁾) - f(X⁽^k^-1))|  , то переход к этапу 5.

Определение угла между направлениями на k-ом и (k-1)-ом шагах  = |Napr⁽^k⁾ - Napr⁽^k^-1)|.

Расчет коэффициента шага , например по следующей таблице

	
<90	2 - /90
>90	0,5 + (180 - )/900,5

Определение шага ⁽^k⁾ =   ⁽^k^-1)

4. Определение координат новой точки. Производится по формуле

X⁽^k⁺¹⁾ = X⁽^k⁾ + ⁽^k⁾S⁽^k⁾

Установить k = k + 1 и перейти к этапу 2.

5. Вывод результатов. За оптимальное решение принять X⁽^k⁾ точку.

Реализация метода. На рис. 2.5 приведено содержание ячеек рабочего листа, используемых для осуществления первых двух итераций при нахождении данным методом минимума функции f(X) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² при начальной длине шага, равной 0,5, и точности поиска 0,001.

Рис. 2.5. Содержание ячеек при реализации градиентного метода

Результаты решения задачи для условий, описанных выше, приведены на рис. 2.6.

Содержание