Проективная геометрия Вопросы к экзамену

1. Перспективно-аффинное соответствие плоскостей и его свойства.

2. Отношение площадей двух аффинно-соответственных в перспективно-аффинном соответствии треугольников.

3. Общее аффинное соответствие плоскостей и их свойства. Аффинные свойства геометрических фигур.

4. Теорема: аффинное преобразование можно рассматривать как композицию гомотетии, движения и перспективно-аффинного преобразования.

5. Главные направления аффинно-соответственных плоскостей и его геометрический смысл. Теорема о существовании главных направлений в двух аффинно-соответственных плоскостях.

6. Эллипс, как кривая аффинно-соответственная окружности. Его аффинные свойства.

7. Введение аффинных координат. Аффинное соответствие плоскостей в аффинных координатах.

8. Неподвижные точки аффинного преобразования плоскости.

9. Проективная плоскость. Необходимость введения несобственных элементов.

10. Свойства проективной плоскости, отличные от свойств евклидовой плоскости.

11. Сложные отношения четырёх точек прямой и четырёх прямых пучка, их свойства.

12. Перспективные и проективные ряды и пучки. Инвариантность сложных отношений при проективных соответствиях.

13. Два основных свойства проективных соответствий.

14. Необходимое и достаточное условие перспективности двух форм первой ступени.

15. Основные геометрические формы проективной геометрии и их классификация.

16. Проективные преобразования на прямой и в пучке прямых в декартовых координатах.

17. Теорема Дезарга и её приложения.

18. Гармонизм. Построение четвёртой гармонической точки (три способа).

19. Гармонические свойства полного четырёхугольника и их использование для решения конструктивных задач.

20. Инволюции. Их свойства и классификация.

21. Инволюция в декартовых координатах.

22. Ряд точек второго порядка. Его основные свойства.

23. Основная теорема о рядах второго порядка.

24. Следствия из основной теоремы о рядах второго порядка.

25. Основная теорема о пучках второго порядка и следствия из неё.

26. Теорема Паскаля и её частные случаи. Использование для решения задач.

27. Теорема Брианшона и её частные случаи. Использование для решения задач.

28. Коллинеации и их свойства.

29. Перспективно-аффинные коллинеации и гомологии.

30. Корреляции и их свойства. Полярное преобразование плоскости как корреляция.

31. Принцип взаимности в полярном преобразовании плоскости.

32. Обыкновенные проективные и однородные проективные координаты, их геометрический смысл.

33. Связь между однородными декартовыми и однородными проективными координатами, между двумя различными проективными координатами точек плоскости.

34. Проективное соответствие плоских полей в проективных координатах.

35. Ряды второго порядка в проективных координатах (два случая).

36. Классификация кривых второго порядка в проективной геометрии.

37. Проективная геометрия и её группы.

38. Практическое значение идей и методов проективной геометрии. Создание и развитие проективной геометрии.

Разработал доц. кафедры математики О.И. Баран.