21. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен . Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равен r.

22. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол . Вычислите объем пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, равен R.

23. В шар радиуса R вписана призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с острым углом . Диагональ боковой грани, содержащей катет, противолежащий этому углу, образует с основанием угол . Найдите объем призмы.

24. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус описанного около нее шара равен R.

25. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Две равные боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а третья боковая грань образует с нею угол . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в нее шара равен r.

26. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Все боковые ребра равны и образуют с плоскостью основания угол . Около пирамиды описан шар. Центр шара принадлежит высоте пирамиды. Расстояние от центра шара до основания высоты пирамиды равно d. Найдите объем пирамиды.

Варіант 17

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Из точки к плоскости проведены две наклонные, длины которых 25 см и 30 см. Разность проекций этих наклонных на плоскость равна 11 см. Вычислите расстояние от данной точки до плоскости.

2. В разнобокой трапеции основания соответственно равны 8 см и 18 см. Некоторая точка пространства равноудалена от каждой стороны этой трапеции на 10 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости трапеции.

3. Отрезки двух прямых лежат между параллельными плоскостями и относятся как 15 : 13, а их проекции на одну из этих плоскостей соответственно равны 18 см и 10 см. Вычислите расстояние между плоскостями.

4. Периметр равностороннего треугольника 27 см. Некоторая точка равноудалена от вершин треугольника на 14 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

5. Из точки М - середины боковой стороны АВ равнобедренной трапеции ABCD проведен к ее плоскости перпендикуляр МК, равный 8 см. Найдите расстояние от точки К до диагонали АС, если АВ = ВС = 24 см и АВС= 120°.

6. Докажите, что суммы расстояний от противолежащих вершин параллелограмма до данной плоскости, равны между собой, если вершины параллелограмма не принадлежат ей.

7. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, которая проходит через середины М и N ребер АВ и ВС, основания ABCD и параллельно ребру SB.

8. Точки М и N - середины параллельных сторон АВ и CD трапеции ABCD. Точка О не принадлежит плоскости ABC, Выразите вектор - через векторы и .

9. Вычислите длину вектора , если (3; 1; 0), (0; 1; -1).

10. М и N - середины ребер В В и A D куба , ребро которого равно 2а. Найдите длину MN.

11. Точка М (2; 8; 5) - середина отрезка, концы которого находятся на оси Оz и в плоскости ху. Найдите координаты концов и длину отрезка.

12. Основанием призмы . служит правильный треугольник ABC. Вершина A проектируется в центр нижнего основания. Доказать, что боковое ребро АА составляет со сторонами основания АВ и АС равные углы.

13. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной а. Диагонали призмы образуют с плоскостью основания углы и . Найдите объем призмы.

14. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен , а радиус окружности, описанной около боковой грани, равен R. Вычислите объем пирамиды.

15. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Две равные боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания. Большее боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол , Определите объем пирамиды, если расстояние от ее вершины до основания равнобедренного треугольника равно l.

16. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде апофема и стороны оснований относятся как 5:8:2, а объем 1 м . Определите ее полную поверхность.

17. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен , а радиус окружности, описанной около боковой грани, равен R. Найдите объем пирамиды.

18. В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, которая пересекает нижнее основание по хорде b, которую видно из центра верхнего основания под углом . Диагонали сечения образуют между собой угол . Найти объем цилиндра.

19. Зная, что полная поверхность цилиндра равна 105 см , а боковая поверхность составляет 80 см². Найти объем цилиндра.