§ 8. Метод суперпозиции
Пусть функция распределения разыгрываемой случайной величины Х может быть представлена в виде линейной комбинации двух функций распределения:
F(х)=С1F1(х) + С2F2(х) (С1>0, С2>0).
При х→∞ каждая из функций распределения стремится к единице, поэтому С1+С2=1.
Введем вспомогательную дискретную случайную величину Z. с законом распределения
Z | 1 | 2 |
p | C1 | C2 |
Мы видим, что
Р(Z-1)=С1, Р(Z=2)=С2,. (*)
Выберем два независимых случайных числа r1 и r2 По числу r1 разыгрываем возможное значение Z. (см. § 4). Если окажется, что Z=1, то ищут искомое возможное значение Х из уравнения F1(х)=r2, если Z=2, то решают относительно х уравнение F2(х)=r2.
Докажем, что функция распределения разыгрываемой случайной величины равна заданной функции распределения. Воспользуемся формулой полной вероятности (см. гл. IV, § 2)
Р(А)=Р(В1)РB1(А)+Р(В2)РB2(A). Обозначим через А событие Х <х; тогда
Р(А)=Р(Х<х)=F(х). (**)
Рассмотрим гипотезы В1: Z=1 и В2: Z=2. Вероятности этих гипотез в силу (*):
Р(В1)=Р(Z =1)=С1 и Р(В2)=Р(Z=2)=С2. (***)
Условные вероятности появления события А соответственно равны:
PB1(А)=РB1(X<х)=F1(х) и PB2(А)=РB2(X<х)=F2(х) (****)
Подставив (**), (***) и (****) в формулу полной вероятности, окончательно получим
F(х)=С1F1(х)+С2F2(х),
что и требовалось доказать.
Замечание. Метод суперпозиции обобщается на n слагаемых функций распределения.
Правило. Для того чтобы разыграть возможное значение случайной величины X, функция распределения которой
F(х)=С1F1(х)+С2F2(х),
где С1>0, С2>0 и С1+С2=1, надо выбрать два независимых случайных числа r1 и r2 и по случайному числу r1 разыграть возможное значение вспомогательной дискретной случайной величины Z. (по правилу § 4):
Z | 1 | 2 |
p | C1 | C2 |
Если окажется, что Z=1, то решают относительно х уравнение F1(х)=r2, если Z=2, то решают уравнение F2(х)=r2.
Пример. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения
F(х)=1—0,25(е-2x+3е-х), 0<х<∞.
Решение. Воспользуемся методом суперпозиции, для чего представим заданную функцию в виде
F(х)=0,25(1 - е-2x)+0,75(1-е-х).
Таким образом, можно принять:
F1(х)= 1 - е-2x, F2(х)= 1-е-х, C1=0.25, C2=0,75.
Введем в рассмотрение вспомогательную дискретную случайную величину Z с законом распределения
Z | 1 | 2 |
p | 0,25 | 0,75 |
Выберем независимые случайные числа r1 и r2. Разыграем Z по случайному числу r1, для чего по правилу § 4 построим частичные интервалы ∆1—(0; 0,25), ∆2—(0,25; 1). Если r1<0,25, то Z=1, если r1≥0,25, то Z=2.
Итак, возможное значение Х находят, решая относительно х уравнение
1 - е-2х= r2, если r1<0,25;
или
1 - е-x=r2, если r1≥0,25.
Используя решение примера 2 (см. § 7), в котором была найдена явная формула х= - (1/λ)1п r для разыгрывания возможных значений показательного распределения с заданным параметром λ, окончательно получим:
x= - (1/2) 1п r2, если r1<0,25;
х= - 1п r2, если r1≥0,25.
- § 1. Предмет метода Монте-Карло
- § 2. Оценка погрешности метода Монте—Карло
- § 3. Случайные числа
- § 4. Разыгрывание дискретной случайной величины
- § 5. Разыгрывание противоположных событий
- § 6. Разыгрывание полной группы событий
- § 7. Разыгрывание непрерывной случайной величины.
- § 8. Метод суперпозиции
- § 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины
- § 1. Цепь Маркова
- § 2. Однородная цепь Маркова.
- § 3. Равенство Маркова