§ 4. Разыгрывание дискретной случайной величины
Пусть требуется разыграть дискретную случайную величину X, т. е. получить последовательность ее возможных значений xi (i= 1, 2, . . ., п), зная закон распределения X:
X | x1 | x2 | … | xn |
p | p1 | p2 | … | pn |
Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0, 1), а через rj(j=1,2,…) возможные значения, т. е. случайные числа.
Разобьем интервал 0≤R<1 на оси Or точками с координатами р1, p1+p2, р1+р2+p3+…, р1+р2+…+pn-1 на п частичных интервалов ∆1,∆2,…,∆n:
Дл. ∆1=р1-0=рi,
Дл. ∆2=(р1+р2)-р1,=р2
……………………….
Дл. ∆n=1-(p1+p2+…+ pn-1) = Рп.
Видим, что длина частичного интервала с индексом i равна вероятности с тем же индексом:
Дл. ∆i=рi. (*)
Теорема. Если каждому случайному числу rj (0 ≤r< 1), которое попало в интервал ∆i, ставить в соответствие возможное значение xi, то разыгрываемая величина будет иметь заданный закон распределения:
X | x1 | x2 | … | xn |
p | p1 | p2 | … | pn |
Доказательство. Так как при попадании случайного числа rj в частичный интервал ∆i, разыгрываемая величина принимает возможное значение xi, а таких интервалов всего n, то разыгрываемая величина имеет те же возможные значения, что и X, а именно х1, х2,...,xn .
Вероятность попадания случайной величины R в интервал ∆i, равна его длине (см. гл. XI, § 6, замечание), а в силу (*) Дл. ∆i=рi. Таким образом, вероятность попадания R в интервал ∆i равна рi. Следовательно, вероятность того, что разыгрываемая величина примет возможное значение хi, также равна рi (поскольку мы условились в случае попадания случайного числа rj в интервал ∆i считать, что разыгрываемая величина приняла возможное значение хi). Итак, разыгрываемая величина имеет заданный закон распределения.
Правило. Для того чтобы разыграть дискретную случайную величину, заданную законом распределения
X | x1 | x2 | … | xn |
p | p1 | p2 | … | pn |
надо: 1) разбить интервал (0, 1) оси Оr на п частичных интервалов: ∆1—(0; р1), ∆2—( р1+р2+…+pn-1);
2) выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число rj.
Если rj попало в частичный интервал ∆i то разыгрываемая дискретная случайная величина приняла возможное значение х1.
Пример. Разыграть 8 значений дискретной случайной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы
X | 3 | 11 | 24 |
p | 0,25 | 0,16 | 0,59 |
Решение. 1. Разобьем интервал (0,1) оси Оr точками с координатами 0,25; 0,25+0,16=0,41 на 3 частичных интервала: ∆1— (0; 0,25), ∆2—(0,25; 0,41), ∆3—(0,41; 1).
2. Выпишем из таблицы приложения 9 восемь случайных чисел, например: 0,10; 0,37; 0,08; 0,99; 0,12; 0,66; 0,31; 0,85.
Случайное число r1 =0,10 принадлежит частичному интервалу ∆1, поэтому разыгрываемая дискретная случайная величина приняла возможное значение x1=3. Случайное число r2=0,37 принадлежит частичному интервалу ∆2, поэтому разыгрываемая величина приняла возможное значение x2 == 11. Аналогично получим остальные возможные значения.
Итак, разыгранные возможные значения Х таковы: 3; 11; 3; 24; 3; 24; 11; 24.
Замечание. Далее будет показано, что разыгрывание событий можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины. Сначала рассмотрим полную группу, состоящую из двух событий (см. § 5), а затем из п событий (см. § 6). Разумеется, полная группа из двух событий является частным случаем полной группы п событий. Однако исходя из методических соображений этот частный случай намерено выделен в самостоятельный параграф—§5.
- § 1. Предмет метода Монте-Карло
- § 2. Оценка погрешности метода Монте—Карло
- § 3. Случайные числа
- § 4. Разыгрывание дискретной случайной величины
- § 5. Разыгрывание противоположных событий
- § 6. Разыгрывание полной группы событий
- § 7. Разыгрывание непрерывной случайной величины.
- § 8. Метод суперпозиции
- § 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины
- § 1. Цепь Маркова
- § 2. Однородная цепь Маркова.
- § 3. Равенство Маркова