§ 1. Предмет метода Монте-Карло

Датой рождения метода Монте – Карло принято считать 1949 г.. когда американские ученые Н. Метрополис и С. Улам опубликовали статью «Метод Монте-Карло», в которой систематически его изложили. Название метода связано с названием города Монте – Карло, где в игорных домах (казино) играют в рулетку из простейших устройств для получения случайных чисел на использовании которых основан этот метод.

ЭВМ позволяют легко получать так называемые псев­дослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники (статистическая физика, теория массового обслуживания, теория игр и др.). Метод Монте-Карло используют для вычис­ления интегралов, в особенности многомерных для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экологических, биологических и т.д.).

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую величину X, математическое ожидание которой равно а:

Практически же поступают так: производят п испытаний, в результате которых получают n возможных значении X, вычисляют их среднее арифметическое

и принимают х в качестве оценки (приближенного значе­ния) а* искомого числа а:

Поскольку метод Монте—Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указы­вает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти ее возможные значения. В част­ности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*.

Отыскание возможных значений случайной величины X (моделирование) называют «разыгрыванием случайной ве­личины». Изложим лишь некоторые способы разыгрывания случайных величин и укажем, как оценить допускаемую при этом ошибку.