1.2 Математика в современном мире.
Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения. Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики: зарождение математики, элементарная математика, математика переменных величин, современная математика. Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. К этому времени был накоплен достаточно большой фактический материал. Понимание математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней Греции. В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика – наука о числе. В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге Начала (300 лет до н.є.). В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создание дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие бесконечно малой величины, создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа). На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р. Декарта о методе координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов. Дальнейшее развитие математики привело в начале ХIX века к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Возникают новые теории. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности математики. Замечательным примером такой теории является воображаемая геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой математики, математизация различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие. В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом. Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства – строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения. В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция. Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится на основе частных посылок. Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера. Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
Чрезвычайное развитие получают в конце XIX в. и в XX в. все разделы математики, начиная с самого старого из них – теории чисел. Немецкие и русский математик Е.И.Золотарев закладывают основы современной алгебраической теории чисел. В 1873 г. Ш.Эрмит доказывает трансцендентность числа ℮, а в 1882 г. Ф. Линдеман – числа π. В России по теории чисел блестяще развивают А.Н. Коркин, Г.Ф. Вороной, И.М. Виноградов и А.А. Марков. Продолжают развиваться классические отделы алгебры. Подробно исследуются возможности сведения решений уравнений высших степеней к решению уравнений возможно более простого вида. Основными отделами, привлекающими значительные научные силы, становятся дифференциальная и алгебраическая геометрия. Дифференциальная геометрия евклидова трехмерного пространства получает полное систематическое развитие в работах итальянского математика Е.Бельтрами, французского математика Г.Дарбу. Позднее бурно развивается дифференциальная геометрия многомерных пространств. Это направление геометрических исследований создано работами математиков Т.Леви-Чевита, Э.Картана, Г.Вейля. Французкие математики глубоко разрабатывают теорию целых функций. Геометрическую теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А.Пуанкаре, Д.Гильберт, Г.Вейль, теорию конформных отображений – русские математики И.И.Привалов, М.А.Лаврентьев, Г.М.Голузин. В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль математики – теория функций действительного переменного.
Наибольшее внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений привлекают теперь вопросы качественного исследования их решений. Все эти исследования получили широкое развитие в России. Качественная теория дифференциальных уравнений послужила для Пуанкаре отправным пунктом для продолжения лишь едва намеченных Риманом исследований по топологии многообразий. Теория дифференциальных уравнений с частными производными еще в конце XIX в. получает существенно новый вид.
Аналитическая теория отступает несколько на задний план, т.к. обнаруживается, что при решении краевых задач она не гарантирует «корректности». Значительным дополнением к методам теории дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технических задач являются методы теории вероятностей. В конце XIXв. и в XXв. большое внимание уделяется методам численного интегрирования дифференциальных уравнений.
Таким образом, разработанные в первой половине XIX века способы обоснования и методы математики позволили математикам перестроить математический анализ, алгебру, учение о числе и отчасти геометрию в соответствии с требованиями новой методологии. Новая методология математики способствовала преодолению кризиса её основ и создала для неё широкие перспективы дальнейшего развития.
Дальнейшее развитие математики, вплоть до конца 19-го – начала 20-го веков имело в основном прагматический характер, когда математика применялась как эффективное средство для решения физических, астрономических и других прикладных задач. В то же время никогда не снимался вопрос о «законных» средствах построения математических понятий и доказательств. Ввиду отсутствия самого понятия математической логики, главным инструментом доказательств являлась интуиция. Интуиционизм, как определённое направление в математике, возник в начале 20-го века, в основном благодаря трудам Л.Брауэра и А.Гейтинга. В его основе лежит номиналистическая тенденция ограничить математику только такими понятиями, которым можно придать «реальный смысл». К числу основных достижений 20-го века в области оснований математики следует отнести:
Выработку понятия формального языка и формальной системы (исчисления) и порождаемой ею теории.
Создание математической логики в виде непротиворечивой семантически полной формальной системы.
Создание аксиоматизированных формальных теорий арифметики, теории множеств, алгебраических систем и других важных разделов математики.
Формальное уточнение понятий алгоритма и вычислимой функции.
Арифметизация и погружение в формальную теорию таких важных понятий метаматематики, как доказуемость, непротиворечивость и др., что позволило решать многие метаматематические проблемы математическими средствами. Перечисленные достижения потребовали осознания и уточнения многих важных математических и метаматематических понятий таких, как язык, синтаксис и семантика математических теорий и др. Всё это позволило взглянуть на проблему оснований математики с новых позиций по сравнению с предшествующими временами.
Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники приводят к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов математики и к появлению целого ряда новых математических дисциплин (например, теория алгоритмов, теория информации, теория игр, исследование операций, кибернетика).
На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, графов теории, теории кодирования возникла дискретная, или конечная математика. Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физическими или механическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математической теории оптимального управления, близкие вопросы об управлении объектами в конфликтных ситуациях — к возникновению и развитию теории дифференциальных игр.
Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях математики в соединении с прогрессом вычислительной техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.
Математическое моделирование, универсальность математических методов обуславливают огромную роль математики в самых различных областях человеческой деятельности.
Основой любой профессиональной деятельности являются умения:
строить и использовать математические модели для описания, прогнозирования и исследования различных явлений;
осуществить системный, качественный и количественный анализ;
владеть компьютерными методами сбора, хранения и обработки информации;
владеть методами решения оптимизационных задач.
Широкое применение находят математические методы в естествознании и сугубо гуманитарных науках: психологии, педагогике.
Можно сказать, что в недалеком будущем любая часть человеческой деятельности будет еще более широко использовать в своих исследованиях математические методы. Принципиально новые возможности мыслительной деятельности открылись с изобретением ЭВМ, с созданием машинной математики. В языке математики произошли существенные изменения. Если язык классической вычислительной математики состоял из формул алгебры, геометрии и анализа, ориентировался на описание непрерывных процессов природы, изучаемых прежде всего в механике, астрономии, физике, то современный её язык – это язык алгоритмов и программ, включающий старый язык формул в качестве частного случая. Язык современной вычислительной математики становится все более универсальным, способным описывать сложные (многопараметрические) системы. Вместе с тем хочется подчеркнуть, что каким бы совершенным ни был математический язык, усиленный электронно-вычислительной техникой, он не порывает связей с многообразным “живым”, естественным языком. Мало того, разговорный язык является базой языка искусственного. В этом отношении представляет интерес недавнее открытие ученых. Речь идет о том, что древний язык индейцев аймара, на котором говорят примерно 2,5 миллиона человек в Боливии и Перу, оказался в высшей степени удобным для компьютерной техники. Еще в 1610 г. итальянский миссионер-иезуит Людовико Бертони, составивший первый словарь аймара, отмечал гениальность его создателей, добившихся высокой логической чистоты. В аймара, например, не существует неправильных глаголов и никаких исключений из немногих четких грамматических правил. Эти особенности языка аймара позволили боливийскому математику Айвану Гусману де Рохас создать систему синхронного компьютерного перевода с любого из пяти заложенных в программу европейских языков, “мостиком” между которыми служит язык аймара. ЭВМ “Аймара”, созданная боливийским ученым, получила высокую оценку специалистов. Резюмируя эту часть вопроса о сущности математического стиля мышления, следует отметить, что его основным содержанием является понимание природы.