2.1. Система уравнений электродинамики – уравнения Максвелла

2.1.1. Система уравнений электродинамики. Основные уравнения электродинамики в дифференциальной форме для произвольной временной зависимости и изотропной среды имеют вид [3-9]:

, (2.1а)

, (2.1б)

, (2.1в)

(2.1г)

где – вектор напряжённости электрического поля, ; – вектор напряжённости магнитного поля, ; –вектор электрической индукции, Кл/м²; – вектор магнитной индукции, Вб/м²; – вектор плотности электрического тока, ; –объёмная плотность электрических зарядов, Кл/м³.

Основные уравнения электродинамики в интегральной форме для произвольной временной зависимости имеют вид [3-9]:

, (2.2а)

, (2.2б)

, (2.2в)

, (2.2г)

где согласованный выбор контура Г и поверхности S для формул (2.2 а, б) показан на рис. 2.1 а); для формул 2.2 в), г) согласование S и V – на рис. 2.1 б).

Рис. 2.1. К уравнениям Максвелла в интегральной форме.

Частные случаи электромагнитных полей (электростатических, стационарных и т.п.) вытекают из (2.1, 2.2). Материальные уравнения объединяются и дополняют приведенные выше уравнения:

, (2.3а)

, (2.3б)

, (2.3в)

где и – соответственно абсолютная, относительная диэлектрические проницаемости среды и вакуума; и – соответственно абсолютная, относительная магнитные проницаемости среды и вакуума; – удельная электрическая проводимость среды, .

Из уравнений (2.1), (2.2) вытекает закон сохранения заряда Q, где I – ток, протекающий через замкнутую поверхность S

или . (2.4а)

и уравнение непрерывности (дифференциальная формулировка закона сохранения заряда)

, (2.4б)

из которого вытекает, что силовые линии вектора плотности тока начинаются и заканчиваются в точках, где происходит изменение плотности электрического заряда .

2.1.2. Уравнения электродинамики в комплексной форме. Основные уравнения электродинамики в дифференциальной форме для гармонической временной зависимости в комплексной форме имеют вид [1-3]:

, (2.5а)

, (2.5б)

, (2.5в)

. (2.5г)

Здесь – вектор плотности магнитного тока, ; – объёмная плотность магнитных зарядов, ; при этом переход от комплексного представления к действительному осуществляется по правилу

. (2.6)

Далее точку, характеризующую комплексное представление, над соответствующими векторами будем опускать. Несмотря на отсутствие в природе магнитных токов и зарядов, их формальное введение часто позволяет значительно упростить расчёт векторов электромагнитного поля.

Уравнения (2.5) не содержат в соответствии с (2.3в) возбуждающих (сторонних) источников, создающих электромагнитное поле. Для этого вводятся следующие векторные величины:

(2.7)

где – удельная электрическая проводимость среды, – вектор напряжённости сторонних электрических сил, – вектор плотности стороннего электрического тока, –удельная магнитная проводимость среды, ; – вектор напряжённости стороннего магнитного поля; – вектор плотности стороннего магнитного тока, .

Подставляя (2.7) в (2.5) и учитывая уравнения непрерывности типа (2.10б)

(2.8)

уравнения (1.11) можно переписать в виде

(2.9)

где – комплексные относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости соответственно (далее знак ~ над ними будем опускать, понимая, что они характеризуют потери).