4.2.2. Конечно-разностная аппроксимация уравнений Лапласа и Пуассона

Проиллюстрируем процедуру конечно-разностной аппроксимации на примере решения основных двумерных уравнений типа (4.3), (4.5) конечно-разностным методом

. (4.19)

Запишем конечно-разностную аппроксимацию (4.19), используя формулы (4.18) и ориентируясь на рис. 4.3.

(4.20)

Рис. 4.3. Геометрия узлов в квадратной сетке.

Складывая выражения в (4.20), используя уравнение (4.19) и умножая на , получим

(4.21)

Таким образом, мы аппроксимировали значение функции в центральном узле первым слагаемым в (4.21); второе слагаемое – погрешность аппроксимации

. (4.22)

Уравнение (3.10) может быть записано для любого узла анализируемой области как

. (4.23)

Уравнение (4.33) – основное конечно разностное уравнение для решения уравнения Пуассона (Лапласа); его также называют пятиточечной конечно разностной аппроксимацией обсуждаемых уравнений. Записывая (4.33) для каждого узла анализируемой области и преобразуя эти уравнения можно получить совместную систему уравнений относительно значений функции в узлах сетки, решая которую далее найти эти значения.