Два недостатка аксиоматики д. Гильберта.

Огромное значение аксиоматики Д. Гильберта для всей математики, и геометрии в частности, неоспоримо и продолжает исследоваться до сих пор. А о той роли, которую сыграли выделенные ниже два «недостатка» упоминается не часто.

Первым недостатком является «язык» аксиоматики. Дело в том, что часть формулируемых аксиом содержит понятия, обоснование которых проводится на уровне теорем существования, доказываемых из предыдущих аксиом. Например, формулировка аксиомы Паша требует понятия отрезка и существования его внутренних точек (последнее приходится доказывать, см. теорему 4 в группе II Аксиом порядка). Далее, требование откладывания конгруэнтного угла с заданной стороны прямой в аксиоме 16, требует же доказательства существования двух сторон, на которые всякая прямая разбивает плоскость. Есть еще ряд замечаний, которые, вместе с отмеченными выше двумя, приводят к вопросам о взаимной совместимости и зависимости аксиоматических требований и критериях проверки этих свойств.

Второй «недостаток» состоит в том, что описание отношений между основными геометрическими объектами - точками, прямыми и плоскостями, приведенное в аксиоматике Д. Гилберта, не может быть индуктивно перенесено на «мыслимые» свойства «мыслимых» же геометрических объектов размерности большее трех. Необходимость построения многомерной геометрии была продиктована задачами аналитической механики систем n-точек уже в XIX веке. В XX веке модель многомерной геометрии возникла в экономических задачах линейного программирования и других задачах естествознания и социальной практики человека.

Для аксиоматического построения многомерной евклидовой геометрии потребовалось переосмыслить процесс арифметизации (введения координат) трехмерного евклидова пространства, связать этот процесс со структурой n-мерного векторного пространства. Начнем с изучения структуры векторного пространства на множестве обыкновенных направленных отрезков.

3. Содержание

   • Оглавление.
   • Пример 1
   • Пример 2
   • Пример 3
   • Вопрос.
   • Глава I Математический формализм
   • О понятии действительных чисел
   • Формализм натуральных чисел.
   • Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Аксиома связи сложения и умножения.
   • Задача 2.
   • Вывод 3.
   • Аксиоматизация множества действительных чисел.
   • Аксиома непрерывности Кантора.
   • Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
   • О“Началах” Евклида.
   • Аксиоматика д. Гильберта(1862-1943)
   • Группа 1. Аксиомы соединения.
   • Теорема 1.
   • Теорема 2.
   • Теорема 3.
   • Группа 2. Аксиомы порядка.
   • Определение.
   • Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
   • Теорема (о внешнем угле треугольника).
   • Определение движения.
   • Замечание 1.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Группа 4. Аксиомы непрерывности.
   • Замечание 2.
   • Замечание 3.
   • Вывод 3.
   • Группа 5. Аксиома параллельности.
   • Замечание 4.
   • Два недостатка аксиоматики д. Гильберта.
   • Структура векторного пространства.
   • Модель направленных отрезков.
   • Сложение обладает свойствами:
   • Свойства операции умножения:
   • Определение.
   • Арифметическая модель векторного пространства.
   • Теорема размерности.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Вывод 3.
   • Аксиомы скалярного произведения векторов.
   • Следствие.
   • Следствие.
   • Вывод 4.
   • Определение.
   • Модель Вейля евклидовой геометрии.
   • Арифметизация трехмерного евклидова пространства.
   • Свойства операции откладывания вектора.
   • Определение.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Многомерное арифметическое евклидово пространство.
   • Вывод 3.
   • Замечание.
   • Следствие 1.
   • Основные факты в планиметрии Лобачевского.
   • 1. Сумма углов многоугольника в плоскости l2.
   • Следствие 2.
   • Вывод 3.
   • Главаii Свойства аксиоматических систем.
   • Математические структуры и аксиоматические теории.
   • Понятие отношений между объектами.
   • Следствие 1.
   • Пример 1.
   • Определение.
   • Следствие 2.
   • Понятие математической структуры.
   • Определение.
   • Замечание 1.
   • Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
   • Рассмотрим пример.
   • Вывод 1.
   • Вывод 2.
   • Определение.
   • Изоморфизм.
   • Пример 1.
   • Пример 2.
   • Определение изоморфизма.
   • Вывод 3.
   • Вывод 1.
   • Независимость аксиоматической системы.
   • Независимость аксиомы параллельности.
   • Замечание 1.
   • Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом.
   • Определение (дедуктивной полноты).
   • Определение (категоричности).
   • Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
   • Анализ текстовых парадоксов.
   • Языковые свойства имен объектов.
   • Пример 1.
   • Пример 2.
   • Пример 3.
   • Проблема выразимости.
   • Понятие искусственного языка.
   • Понятие парадокса.
   • “Ахиллес и черепаха”.
   • Парадокс пустого множества.
   • Парадокс достижимости в натуральном ряде.
   • “Одно и то же, но по-разному”
   • Пример 1.
   • Пример 2.
   • Заключение.
   • Обозначения.
   • Литература