4.1. К классификации электромагнитных явлений

Уравнения (2.1), (2.2) в Теме 2 позволяют классифицировать электромагнитные процессы и получить ряд соотношений, используемых в следующих главах для иллюстрации и тестирования численных методов на простейших примерах.

4.1.1. Уравнения электростатики. Самыми простыми являются неизменные во времени поля при отсутствии токов, т.е. , а уравнения, для электрического поля, называемого электростатическим, принимают вид

. (4.1)

Используя тождество , вводят понятие скалярного потенциала электростатического поля

, (4.2)

и, подставив во второе уравнение (4.1), получаем в случае однородной среды для скалярного потенциала уравнение Пуассона

. (4.3)

Общий вид решения этого уравнения Пуассона для неограниченной области имеет вид

, (4.4)

где – радиус-вектор точек наблюдения и интегрирования соответственно. Для тех областей, где заряд отсутствует ( ) (4.3) переходит в уравнение Лапласа

. (4.5)

При наличии границ раздела сред (рис.4.1) выполняются следующие граничные условия:

(4.6)

где индексами 1 и 2 отмечены значения векторов поля в первой и второй средах соответственно; – единичный вектор нормали к поверхности, направленный в первую среду; – поверхностная плотность электрических зарядов.

Рис. 4.1. Граничные условия.

Граничные условия (4.6) с учётом (1.26) для потенциалов в первой второй сред принимают вид

. (4.7)

Если вторая среда является идеальным проводником, то вектора поля во второй среде равны нулю. Граничные условия для электростатического потенциала на поверхности S проводника имеют вид

, (4.8)

где нормаль внешняя по отношению к проводящей среде. При наличии совокупности проводящих тел распределение на каждом из них неизвестно и краевые задачи формулируются как задача Дирихле

(4.9)

или как задача Неймана, в которой вместо граничных условий для потенциалов задаются граничные условия типа (4.8).

Для линейных сред в силу линейности уравнений электростатики вводится понятие ёмкости C [Фарада] системы проводников. В частном случае двух проводников с зарядом q и потенциалами и

. (4.10)

Энергия электростатического поля определяется общим соотношением [12]

, (4.11)

или в более удобной форме для локального распределения зарядов

. (4.12)