logo search
voprosy_k_ekzamenu_po_geometrii

Свойства гармонических четверок:

1. Через точки А, В, С, D, лежащие на одной прямой, проведем 4 параллельные прямые. Пусть А1, В1, С1, D1 – точки пересечения этих прямых с какой-нибудь другой прямой. Тогда, если А, В, С, D – гармоническая четверка, то А1, В1, С1, D1 также гармоническая четверка.

2. Аналогичным свойством обладают точки А1, В1, С1, D1 пересечения прямых МА, МВ, МС, MD с какой-нибудь прямой, параллельной прямой АD.

  1. Построение четвертой гармонической.

Четвертка точек при этом образует т.н. гармоническую четверку – см.[1],[6],[11]. На рисунке ниже указан способ построения четвертой гармонической: из точки проводим произвольную прямую, отмечаем точки пересечения ее с прямыми (СА) и (ВА) – точки и , потом строим точку Р пересечения и , и, наконец – точку пересечения (АР) и (ВС).

  1. Полный четырехвершинник и полный четырехсторонник.

Полным четырехвершинником называется фигура, состоящая из четырех точек , никакие три из которых не лежат на одной прямой и шести прямых проходящих через эти точки (рис. 3). Точки  А, В, С, D называются вершинами, прямые  АВ, CD, АС, ВD, ВС, AD – сторонами полного четырехвершинника. Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными; точки пересечения противоположных сторон P, Q, R называются диагональными точками.

Фигура, двойственная четырехвершиннику, называется четырехсторонником – совокупность четырех прямых, лежащих в одной плоскости, из которых никакие три не принадлежат одной точке.

  1. Применение свойств полного четырехвершинника к построению гармонических четверок точек

  2. Проективные преобразования проективной прямой.

Проективное преобразование — это преобразование проективной плоскости, переводящее прямые в прямыe.

Пусть l1 и l2 - две прямые на плоскости, O - точка, не лежащая ни на одной из этих прямых. Центральным проектированием прямой l1 на прямую l2 с центром O называют отображение, которое точке A1 прямой l1 ставит в соответствие точку пересечения прямой OA1 с прямой l2.

Пусть l1 и l2 - две прямые на плоскости, l - прямая, не параллельная ни одной из этих прямых. Параллельным проектированием прямой l1 на прямую l2 вдоль прямой l называют отображение, которое точке A1 прямой l1 ставит в соответствие точку пересечения прямой l2 с прямой, проходящей через точку A1 параллельно прямой l.

Отображение P прямой a на прямую b называют проективным, если оно является композицией центральных или параллельных проектирований, т. е. если существуют прямые a0 = a, a1, , an = b и отображения Pi прямых ai на ai + 1, каждое из которых является либо центральным, либо параллельным проектированием, причем P является композицией преобразований Pi. В случае, когда прямая b совпадает с прямой a, отображение P называют проективным преобразованием прямой a.