Гармонические четверки точек. Свойства гармонических четрверок

Введем обозначения: AB, CD (со стрелкой) – ненулевые коллинеарные векторы; AB, CD (с чертой)– их длины, взятые с одинаковыми знаками, если векторы сонаправлены, и с разными знаками, если они противоположно направлены. Тогда, в частности, выражения и будут представлять отношение и произведение, взятые со знаком «+», если векторы сонаправлены, и со знаком «–»,они противоположно направлены.

Воспользуемся принятыми обозначениями для определения гармонических четверок точек. Рассмотрим четыре точки А, В, С, D, лежащие на одной прямой. Будем говорить, что точки А, В, С, D (взятые в том же порядке, как указано) образуют гармоническую четверку, если (*)

Из равенства следует, что среди данных векторов три вектора сонаправлены, а четвертый вектор направлен противоположно по отношению к ним.

Отметим, что данное равенство равносильно каждому из следующих равенств:

Можно написать еще несколько равенств, равносильных (*).