Порядок точек на проективной прямой.
На прямой в обычной евклидовой геометрии положение точек можно было характеризовать одним числом, одной координатой, отсчитываемой в некотором масштабе от точки, принятой за ноль. Так как в проективной геометрии бесконечно удаленная точка является равноправной с любой другой точкой, то уже невозможно одним числом представить координату этой бесконечно удаленной точки.
Здесь уже, на проективной прямой исходят из рассмотрения взаимного расположения двух пар точек.
Пусть A и B, C и D две пары точек, расположенные на проективной прямой (рис.5). Тогда чтобы совместить точку C с другой точкой своей пары, т.е. CD мы при движении ее по прямой обязательно встретимся в какой-то момент с т. A или т. B. Аналогично, чтобы совместить B с A, при движении точки B она когда-нибудь совпадет с C или D. В таком случае говорят, что пара точек A и B разделяет пару точек C и D. На этом основаны аксиомы порядка и введения координат на проективной прямой.
1. Каковы бы ни были три различные точки A, B, C произвольной прямой U, на этой прямой существует такая точка D, что пара A, B разделяет пару C, D.
2. Если пара A, B разделяет пару C, D; пара C, D разделяет пару A, B.
3. Каковы бы ни были четыре различные точки A, B, C, D прямой из них могут быть всегда единственным образом составлены две раздельные пары.
Двойное отношение четырех точек прямой. Свойства двойного отношения.
Двойным (или сложным) отношением четверки точек A, B, C, D, лежащих на одной (вещественной или комплексной) прямой, называют число
где через a, b, c, d обозначены координаты точек A, B, C, D соответственно.
Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой. Часто пишут также так:
подразумевая, что через AC / BC (соответственно AD / BD) обозначено отношение направленных отрезков.
Двойное отношение четверки точек на прямой сохраняется при проективных преобразованиях плоскости или пространства.
Двойным отношением четверки прямых a, b, c, d, проходящих через одну точку, называют число
знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми a и b, не пересекается ни с одной из прямых c или d (в этом случае говорят, что пара прямых a и b не разделяет пару прямых c и d), то (ab,cd) > 0; в противном случае (ab,cd) < 0.
Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях, в частности не зависит от выбора координат на прямой.