Лабораторная работа №2 моделирование колебательных систем

Цель работы:

1. Составить математические модели колебательных систем с одной степенью свободы и блок-схемы их набора в пакете Simulink для различных законов демпфирования.

2. Исследовать характер собственных и вынужденных колебаний систем под действием различных внешних сил и ненулевых начальных условий.

Теоретическая часть

Простейшая колебательная система (например, грузик на пружине, LC ‑ колебательный контур) имеет одну степень свободы и описывается обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Так простейшая одномассовая поступательная система описывается уравнением равновесия сил, действующих на подвижную массу m:

, (2.1)

где - перемещение массы;

- сила инерции;

- демпфирующая сила сопротивления движению, зависящая от скорости ;

- усилие пружины (восстанавливающая сила);

- внешняя сила.

В зависимости от характера демпфирующей силы уравнение (2.1) движения принимает следующие формы:

1. В случае вязкого трения, характерного для механических крутильных систем, демпфирующая сила является линейной функцией скорости:

, (2.2)

где - линейная сила вязкого трения.

2. В случае квадратичного закона трения, характерного для гидравлических систем, демпфирующая сила является квадратичной функцией скорости:

, (2.3)

где - квадратичная демпфирующая сила.

а б в

Рисунок 2.1. Колебательная система:

а. с вязким линейным трением,

б. с вязким квадратичным трением,

в. с сухим трением.

3. В случае сухого трения, характерного для механических поступательных систем, демпфирующая сила является функцией знака скорости, а величина ее постоянна:

, (2.4)

где - сила сухого трения.

На рис. 2.1 приведены примеры колебательных систем с вязким линейным, вязким квадратичным и сухим трением.

Свободные колебания системы возникают под действием ненулевых начальных условий (, ), либо при скачкообразном приложении силы F(t). Свободные колебания затухают под действием демпфирующей силы, а характер затухания зависит от вида демпфирования (трения).

Порядок составления структурной модели

Используя уравнения (2.2), (2.3), (2.4) построить блок-схему колебательной системы с различными демпфирующими силами. Для этого необходимо:

1. Разрешить дифференциальное уравнение относительно слагаемого со старшей производной.

2. С помощью цепочки сумматоров собрать модель правой части уравнения.

3. Используя цепочки из двух последовательно включенных интеграторов, получить переменные и .

4. С помощью усилителей с регулируемым коэффициентом передачи или соответствующих нелинейных блоков получить слагаемые правой части уравнения по п. 1 и подключить их к цепочке сумматоров.

Таблица 2.1

5. Проверить блок-схему - в каждом замкнутом контуре число перемен знака должно быть нечетным.

6. Внешнюю силу F(t) моделировать соответствующим генератором.

7. В полученной схеме установить коэффициенты в соответствии с вариантом (табл. 2.1).

8. Набрать модель в рабочем окне SIMULINK.

Порядок выполнения работы

1. Составить и набрать структурную модель колебательной системы с вязким трением (по уравнению (2.2)). Задать:

• возмущение - единичный скачок;

• начальные условия - нулевые;

• метод моделирования - Рунге-Кутта;

• точность - 0.01;

• длительность моделирования T_k = 50 с.

2. Запустить моделирование командой “Start” или “Счет” (функциональная клавиша F3), по окончании вычисления вывести на экран график процесса x(t) командой “Грф” (F6) и зарисовать.

3. Изменяя коэффициент демпфирования (уменьшая в 2, 4, 10 раз), получить графики соответствующих переходных процессов и зарисовать. Сделать вывод о влиянии коэффициента демпфирования на затухание колебаний.

4. Для заданного коэффициента демпфирования исследовать влияние коэффициента передачи во внешнем контуре на частоту собственных колебаний системы. Для этого увеличивать и уменьшать указанный коэффициент в 2 и 4 раза. Сделать выводы.

5. Исследовать влияние ненулевых начальных условий на движение системы. Для этого установить исходные значения коэффициентов, а сигнал на выходе генератора установить равным 0. Задать последовательно начальные условия и . Зарисовать графики переходных процессов при ненулевых начальных условиях. Сделать выводы.

6. Исследовать поведение системы с вязким трением при подключении в виде возмущающего воздействия синусоидального сигнала при нулевых начальных условиях в районе резонанса. Для этого необходимо найти резонансную частоту системы .

(2.5)

Определить амплитуду установившихся колебаний при частоте возмущающего сигнала 0.5·, , 2·. Сделать выводы.

7. Исследовать систему с вязким трением при подключении в виде возмущающего воздействия меандра (прямоугольных периодических колебаний) при нулевых начальных условиях. Зарисовать процесс x(t) при частоте возмущающего сигнала 0.25·, , 4·. Описать характер движений системы. Сделать выводы.

8. Исследовать колебательные системы с вязким линейным, с вязким квадратичным и с сухим трением (уравнения (2.2), (2.3), (2.4) соответственно) с нулевыми начальными условиями при единичном возмущающем воздействии. Зарисовать полученные выходные характеристики и сделать вывод о влиянии различных демпфирующих сил на вид переходной характеристики.

Контрольные вопросы

1. По каким законам уменьшается амплитуда колебаний при вязком линейном трении, при вязком квадратичном трении и при сухом трении?

2. Как изменяется амплитуда вынужденных колебаний в зависимости от частоты возмущающей силы?

3. Сколько собственных частот имеют колебательные системы, описываемые обыкновенными уравнениями 3-го, 4-го, 5-го, 6-го порядка?

4. Как изменяется затухание колебаний при изменении коэффициента демпфирования?

5. Как изменится собственная частота колебательной системы при изменении массы?

Литература

1. Пановко Я.Г. Введение в теорию колебаний. - М.: Наука, 1991.

2. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. - М.: Физматгиз, 1959.