Методические указания

Лабораторная работа №7 генерация случайных процессов с заданной спектральной плотностью

Цель работы:

Моделирование случайного процесса с заданной спектральной плотностью, путем применения линейного формирующего фильтра.

Разработана с магистром Икол Е.Ю.

Основные определения

Случайный сигнал – сигнал, мгновенное значение которого заранее не известно и может быть предсказано лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы.

Случайный процесс (СП) – математическая модель изменяющегося во времени случайного сигнала.

Случайный процесс X(t) – функция, значения которой в любой момент времени t, являются случайными величинами.

СП X(t) стационарен в широком смысле, если его математическое ожидание M_x и дисперсия D_x не зависят от времени, а корреляционная функция R_x зависит не от самих моментов времени, а только от интервала между ними ф = t₁ – t₂:

R_x(t₁,t₂) = R_x(t₂ – t₁) = R_x(ф),

M_x(t) = const, D_x(t) = const.

Спетральная плотность – величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от щ до щ + dщ.

Белый шум – стационарный СП, спектральная плотность мощности которого постоянна на всех частотах: W(щ) = W₀ = const.

Теоретическая часть

Задачей данной работы является генерация случайного процесса (помехи), представляющий собой белый шум, содержащий периодическую (неслучайную) помеху с частотой щ₁.

Для чего нужны модели таких сигналов?

Многие сигналы являются детерминированными, то есть их временная зависимость y(t) известна и не меняется при неоднократном моделировании. Такие сигналы удобны для аналитического описания и анализа систем. Но на практике большинство реальных сигналов не являются детерминированными. Одной из причин этого является засоренность сигналов шумами и помехами, имеющими случайный характер с тем или иным спектром. Таким образом, для получения реального сигнала, используемого на практике, необходимо уметь генерировать помехи и прежде всего белый шум.

Предположим, что в нашем распоряжении имеется генератор шума, выходной сигнал которого имеет спектральную плотность S_x(щ). Для имитации шумов имеющих место в реальной системе, требуется воспроизвести случайный сигнал со спектральной плотностью S_y(щ). Для этого необходимо определить передаточную функцию Ф(jщ) линейного формирующего фильтра.

X(t) Y(t)

S_x(щ) S_y(щ)

Рис. 7.1. Линейная система

Докажем это. Из теории автоматического управления известно, что спектральная плотность сигнала на выходе линейной системы равна квадрату модуля частотной функции, умноженного на спектральную плотность входного сигнала:

На основании этого можно найти:

Если в качестве входного сигнала используется белый шум, для которого S_x(щ) = 1, то

|Ф(jщ)|² = S_y(щ).

То есть спектральная плотность сигнала на выходе в этом случае зависит только от параметров линейного фильтра.

В данной работе на вход фильтра кроме белого шума необходимо также подавать периодический сигнал (синусоиду), так как в реальных системах кроме помех, имеющих случайный характер, могут присутствовать помехи неслучайного характера.

Как правило, в качестве линейного формирующего фильтра используется колебательное звено:

, (7.1)

где ,

щ ₀ – резонансная частота.

При создании активных узкополосных фильтров с передаточной функцией вида (7.1) применяют избирательные усилители, которые из поступающей на вход совокупности сигналов широкого диапазона частот выделяют группу сигналов близких частот, несущих полезную информацию.

Порядок выполнения работы

В пакете Simulink составить и набрать структурную модель, позволяющую генерировать случайный процесс (белый шум), содержащий периодическую составляющую с частотой щ₁. Данная модель должна представлять собой фильтр (колебательное звено с передаточной функцией (1)), на вход которого подается суммарный сигнал белого шума и синусоиды f(t)=A·sin(щ₁·t).
Изменяя коэффициент демпфирования о (в интервале 0.3 ÷ 0.7 методом деления пополам^*) в передаточной функции фильтра получить на его выходе случайный сигнал с заданной спектральной плотностью.

При составлении модели необходимы будут блоки:

Band Limited White Nose – генератор белого шума;

БлокAveraging Power Spectral Density из библиотеки Simulink Extras – предназначен для наглядного представления формы выходного сигнала и его энергетического спектра; необходимо использовать следующие настройки данных блоков (рис. 7.2):

Рисунок 7.2

^*Метод основан на делении текущего отрезка [a, b] на две равные части с последующим выбором одной из половин, в которой находится максимум в качестве следующего текущего отрезка. Чем ближе коэффициент демпфирования о к 0.3, тем более выражена резонансная частота в спектральной плотности выходного сигнала и наоборот.

Таблица 7.1

№	A	щ₁	щ₀	Stop time	S_y(щ)
1	0.1	5	10	400	рис. 7.3.1
2	0.1	7	12.5	400	рис. 7.3.2
3	0.1	3	4.5	200	рис. 7.3.3
4	0.1	4.5	6.7	250	рис. 7.3.4
5	0.1	3	5	200	рис. 7.3.5
6	0.1	4	8	400	рис. 7.3.6
7	0.1	6	11.1	300	рис. 7.3.7
8	0.1	2	3.84	250	рис. 7.3.8
9	0.1	4	7.69	400	рис. 7.3.9
10	0.01	2	4	400	рис. 7.3.10
11	0.04	5	9	300	рис. 7.3.11
12	0.01	2.5	5	400	рис. 7.3.12

Где Stop time – время моделирования (Simulation → Simulation parameters → Stop time).

1) 2)

7) 8)

11) 12)

Рисунок 7.3

Литература

Жовинский В.Н. Генерирование шумов для исследования автоматических систем. М., “Энергия”, 1968.
Дьяконов В. SIMULINK 4. Специальный справочник. – СПб: Питер, 2002.

Содержание