logo search
matlab_final

Задания

Задание 2.1

Доказать, что ток проводимости , текущий по проводам, равен току смещения между двумя параллельными пластинами конденсатора C. Напряжение источника равно .

Решение (стр.278, пример 5.11)

(1)

поскольку , A–площадь пластин, d–расстояние между пластинами. Далее

. (2)

Поскольку , а то , то из (2) имеем

(3)

Задание 2.2

Используя теорему Пойнтинга доказать, что изменение энергии – мощности, которая накапливается в конденсаторе (область между металлическими пластинами в схеме на рисунке) происходит за счёт мощности, поступающей через боковую поверхность структуры. Потерями в проводниках пренебрегаем, размеры

Решение (стр.289, пример 5.18)

Теорема Пойнтинга для области между металлическими пластинами:

. (1)

Полагая электрическое поле однородным между пластинами запишем электрическую энергию, запасённую в структуре (полная магнитная энергия равна нулю)

. (2)

Изменение энергии во времени

, (3)

и последним слагаемым в правой части пренебрегаем, так как потери отсутствуют.

Чтобы определить левую часть (1), требуется найти . Используем второе уравнение Максвелла в интегральной форме:

. (4)

Применив его к контуру L в виде окружности радиуса и поверхности S в виде круга радиуса . Тогда, поскольку внутри структуры , имеем

. (5)

Теперь можем записать вектор Пойнтинга и левую часть в (1):

. (6)

Сравнение выражений (3) и (6) и есть доказательство задания. Пример показывает, что теорема Пойнтинга может быть интерпретирована в терминах теории электрических цепей.

Задание 2.3

Найти аналитически и, используя MATLAB, потенциал V и вектор напряженности электрического поля двух зарядов, расположенных на расстоянии d в свободном пространстве. Используя MATLAB построить поверхность распределения электрического потенциала и вектор напряженности электрического поля в области, окружающей заряд. Графическое построение проводить в интервалах м, и с шагом по осям x и y равным 0.1. Графики выводятся в одном окне.

a) 1 нКл, -1 нКл, d = 0.5 м.

б) 1 нКл, -1 нКл, d = 0.4 м.

в) 1 нКл, -1 нКл, d = 0.25 м.

г) 1 нКл, 1 нКл, d = 0.5 м.

д) 1 нКл, 1 нКл, d = 0.4 м.

е) 1 нКл, 1 нКл, d = 0.25 м.

Решение (стр.97, пример 2.11)

Общее выражение для электрического потенциала имеет вид:

, где –объёмная плотность электрических зарядов в объёме V, . Тогда (для варианта а))

. (1)

Будем далее полагать, что . При таком предположении , и для (1) имеем, опуская очевидные преобразования:

. (2)

Если r >> d, то конфигурация на рисунке называется электрическим диполем.

Используем MATLAB для построения распределения электрического потенциала

clear;

% Интервалы построения графиков

xmin = -1;

xmax = 1;

ymin = -1;

ymax = 1;

step = 0.1;

% Величины зарядов

Q1 = 1e-9;

Q2 = -1e-9;

% Диэлектрическая постоянная

e0 = 8.854187817e-12;

[x, y] = meshgrid(xmin: step: xmax, xmin: step: xmax);

R1 = (x .^ 2 + (y - 0.25) .^ 2) .^ 0.5;

R2 = (x .^ 2 + (y + 0.25) .^ 2) .^ 0.5;

V = (Q1 ./ (4 * pi * e0 * R1) ) + (Q2 ./ (4 * pi * e0 * R2) );

[u, v] = gradient (V, step);

subplot (2, 1, 1)

surf(x, y, V)

axis off

view(-37.5, 20)

text(-3, -2, 35, '(a)', 'fontsize', 18)

subplot (2, 1, 2)

contour(x / 5, y / 5, V, 10)

hold on

axis square

quiver (x, y, -u, -v, 1)

axis equal

axis off

hold off

text(-1/2, 1/4, '(b)', 'fontsize', 18)

Задание 2. 4.

Заряд Q равномерно распределён внутри сферы радиуса . Рассчитать аналитически электрическое поле вне и внутри сферы и построить соответствующий график, используя MATLAB. Интервал изменения .

а) Q = 1 нКл, a = 1 см.

б) Q = 0.5 нКл, a = 1 см.

в) Q = 0.1 мкКл, a = 1 см.

г) Q = 1 нКл, a = 0.5 см.

д) Q = 0.5 мкКл, a = 2 см.

е) Q = 1 нКл, a = 3 см.

Решение (стр.78, пример 2.7)

Объёмная плотность электрических зарядов . Используем теорему Гаусса

. (1)

Пусть , тогда .

Пусть , тогда .

Амплитуда электрического поля линейно увеличивается с радиусом.

Используем MATLAB для построения графика.

clear;

% Дано

Q = 1e-9;

a = 1e-2;

% Максимальное значение на графике по оси x

r_max = 3 * a;

step = 1e-3;

e0 = 8.854187817e-12;

% График для r = [0; a]

r1 = 0: step: a;

E_r1 = Q .* r1 ./ (4 * pi * e0 * (a ^ 3) );

% График для r = [a; ...]

r2 = a: step: r_max;

E_r2 = Q ./ (4 .* pi .* e0 .* r2 .^ 2);

plot (r1, E_r1, 'b-', r2, E_r2, 'b-');

xlabel ('r');

ylabel ('E_r');

grid on;

Задание 2.5. (стр.132, пример 3.4)

Дан цилиндрический проводник, по которому протекает ток силой . Определить значение магнитной индукции B в зависимости от расстояния и построить соответствующий график, используя MATLAB. Построить, используя MATLAB, пространственное распределение вектора магнитной индукции в прямоугольной области мм, мм. Полагаем, что ток распределён в проводнике равномерно.

а) I = 1 А, a = 2 мм.

б) I = 2 А, a = 1 мм.

в) I = 0.5 А, a = 0.5 мм.

г) I = 2 А, a = 2 мм.

д) I = 2 А, a = 0.5 мм.

е) I = 0.1 А, a = 0.5 мм.

Решение (стр.132, пример 3.4)

Используются два уравнения электродинамики (2.2а) и (2.3б):

, , (1)

Учитываем стационарность во времени и, выбрав в качестве контура Г окружность, имеем

Вб/м2 (2)

Формула (2) справедлива для , поскольку учтен полный ток через произвольную поверхность , ограниченную контуром Г.

Полагаем, что ток распределён в проводнике равномерно, тогда вектор плотности электрического тока равен

, А/м2 , (3)

тогда (4)

Учитывая результаты (1), (2) и (4) получаем для

. (5)

График зависимости (5) представлен на рисунке

Построить, используя MATLAB, по формуле (5) соответствующий график в прямоугольной области

clear;

clf

% Дано

a = 2e-3;

I = 1;

% Интервал для рисования графиков и шаг

L = 5e-3;

step = 0.5e-3;

% Магнитная постоянная

mu0 = 4 * pi * 1e-7;

[x, y] = meshgrid(-L: step: L, -L: step: L);

[Phi, R] = cart2pol(x,y);

NR = length(R);

NP = length(Phi);

for n = 1: NR

for m = 1: NP

Rn = R(m,n);

if Rn>a

B(m,n) = mu0 * I / (2 * pi) ./ Rn; % outside

else

B(m,n) = mu0 * I / (2 * pi) * Rn ./ (a ^ 2); % inside

end

end

end

Bx = -B .* sin(Phi);

By = B .* cos(Phi);

% Рисуем круг

angle = (0: 0.01: 1)' * 2 * pi;

u = a * cos(angle);

v = a * sin(angle);

fill(u, v, 'y')

hold on

fill(u / 20, v / 20, 'k')

% Рисуем поле

quiver(x, y, Bx, By)

xlabel('x', 'fontsize', 18)

ylabel('y', 'fontsize', 18)

set(gca, 'fontsize', 18)

axis equal