3. Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Пусть — поле.

Выясним, может ли неразложимый в [x] многочлен обладать кратными корнями?

Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочленыf(x)иf(x)должны иметь общий отличный от константы множитель, который можно вычислить уже в[x]. Если многочленf(x)неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степениf(x)не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенствоf '(x)= 0.

Положим

_{n n}

f(x) =a_x^ f(x) =a_x^-1

^{0 1}

Так как f(x)= О, в нуль должен обращаться каждый коэффициент:

a_ = 0 ( = l, 2, ..., n).

В случае характеристики нуль отсюда следует, что a_= 0 для всех0. Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристикиpравенстваa_= 0 возможны и для0, но тогда обязаны выполняться сравнения

0(p).

Таким образом, чтобы многочлен f(x) обладал кратными корнями, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением техa_x^, для которых0(p), т. е.f(x)должен иметь вид

f(x) = a₀+a_px^p+a_2px^2p+…

Обратно: еслиf(x)имеет такой вид, тоf(x)=0.

В этом случае мы можем записать:

f(x) = (x^p).

Тем самым доказано утверждение:В случае характеристики нуль неразложимый в  [x] многочлен f (x) имеет только простые корни, в случае оке характеристики p многочлен f(x) (если он отличен от константы) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен  от x^p.