Тема 9. Методи аналізу законів розподілу ймовірностей випадкових величин

Завдання 4. За критерієм узгодження при рівні значущостіперевірити правильність гіпотези про нормальний закон розподілу ознаки.

0,4	26,8	15,1	10	4,1	2,9	-1,4	2,6	17,8
23,7	10,5	14	13,9	23,2	20,4	-6,1	14,6	6,9
13,5	4,4	5,6	6,1	7,6	6,7	11,8	7,4	8,1
16,6	15,3	2,6	7,1	21,2	10,2	7,7	6,8	12,8
17,6	18,2	3,2	-1	13,2	20,3	18,2	4,7	13,6
3,6	15,5	9,1	2,2	15,1	12	3,8	-3,5	3,3

Розв’язання.

1) Згрупуємо вибіркові дані, для чого побудуємо варіаційний ряд

–6,1	–3,5	–1,4	–1	0,4	2,2	2,6	2,6	2,9
2,9	3,2	3,3	3,6	3,8	4,1	4,4	4,7	5,6
6,1	6,7	6,8	6,9	7,1	7,4	7,6	7,7	8,1
9,1	10	10,2	10,5	11,8	12	12,8	13,2	13,5
13,6	13,9	14	14,6	15,1	15,1	15,3	15,5	16,6
17,6	17,8	18,2	18,2	20,3	20,4	21,2	23,2	26,8

і розрахуємо довжину інтервалу групування, взявши число груп вибірки :

.

Побудуємо інтервальний статистичний ряд

	–6,1-0,5	0,5-7,1	7,1-13,7	13,7-20,3	20,3-26,9
	–2,8	3,8	10,4	17	23,6
	5	17	15	12	5	54

Обчислимо вибіркову середню і вибіркове середнє квадратичне відхилення:

2) Висуваємо нульову гіпотезу : ознакамає нормальний закон розподілу ймовірностей. Для перевірки правильностівикористаємо критерій узгодженості Пірсона.

Обчислимо теоретичні частоти ,, для чого складемо розрахункову таблицю

Обчислимо спостережуване значення критерію

,

для чого складемо розрахункову таблицю

Отже, маємо

.

Для контролю правильності обчислень використаємо співвідношення

: .

Отже, обчислення виконані правильно.

Знайдемо число степенів вільності, враховуючи, що число груп вибірки , а число параметрів нормального розподілу:.

В таблиці критичних точок розподілу за рівнем значущостіта числом степенів вільностізнаходимо.

Оскільки 2,27=,=5,991, то відмінність емпіричних та теоретичних частот незначуща.

Статистичне рішення. Таким чином, гіпотеза про нормальний закон розподілу генеральної сукупності ознаки приймається.

Завдання 5. За критерієм при рівні значущостіперевірити правильність гіпотези однорідності двох вибірок.

6,9	5,2	6,7	3,3	-1,8	10,3	9,2	13,9	25,3	15,7
16,9	16	16,4	14,7	2,7	10,5	4,7	14,9	8,7	5,5
4,9	6,4	13,9	8,3	10,6	18,8	5,1	10	17,8	16,2
-10,3	-5,1	11,4	5,7	1,6	10,7	15,4	12,1	10,1	4,6
7,1	5,3	9,1	17,1	11,3	13,6	15,2	9,9	12	11,1

13	6,7	5,1	31,3	8	1	15,3	7,3	1,6	2,7
9,9	10,2	11,9	13,4	11,7	5,2	-1,3	19,9	16,8	1,9
11	21,9	7,8	-4,2	0,1	0,7	6,4	10,4	5,8	7,7
13,8	11,5	12,8	1,9	2,3	2,3	7,1	0,8	-9,9	18,9
15,5	11	3	3,5	3,9	11,9	7,2	19,1	0,4	12,7

Розв’язання.

1) Згрупуємо вибіркові дані, для чого побудуємо варіаційний ряд для першої вибірки

–10,3	–5,1	–1,8	1,6	2,7	3,3	4,6	4,7	4,9	5,1
5,2	5,3	5,5	5,7	6,4	6,7	6,9	7,1	8,3	8,7
9,1	9,2	9,9	10	10,1	10,3	10,5	10,6	10,7	11,1
11,3	11,4	12	12,1	13,6	13,9	13,9	14,7	14,9	15,2
15,4	15,7	16	16,2	16,4	16,9	17,1	17,8	18,8	25,3

і розрахуємо довжину інтервалу групування, взявши число груп вибірки :

.

Побудуємо інтервальний статистичний ряд для першої вибірки

2) Згрупуємо вибіркові дані, для чого побудуємо варіаційний ряд для другої вибірки

–9,9	–4,2	–1,3	0,1	0,4	0,7	0,8	1	1,6	1,9
1,9	2,3	2,3	2,7	3	3,5	3,9	5,1	5,2	5,8
6,4	6,7	7,1	7,2	7,3	7,7	7,8	8	9,9	10,2
10,4	11	11	11,5	11,7	11,9	11,9	12,7	12,8	13
13,4	13,8	15,3	15,5	16,8	18,9	19,1	19,9	21,9	31,3

і розрахуємо довжину інтервалу групування, взявши число груп вибірки :

.

Побудуємо інтервальний статистичний ряд для другої вибірки

3) Обчислимо спостережуване значення критерію , для чого складемо розрахункову таблицю

	1	2	3	4	5	6
	2	1	15	16	15	1	50
	2	14	15	14	4	1	50
	4	15	30	30	19	2	100
	0	–13	0	2	11	0
	0	11,27	0	0,13	4,03	0	15,43

Отже, маємо

.

Знайдемо число степенів вільності , враховуючи, що число груп вибірки:.

В таблиці критичних точок розподілу , за рівнем значущостіта числом степенів вільності, знаходимо.

Статистичне рішення: Оскільки 15,43 = =15,09, то гіпотеза однорідності двох вибірок не приймається.