1.1. Элементы векторного анализа

1.1.1. Операторы векторного анализа. В дальнейшем будем использовать форму записи уравнений электродинамики с использованием так называемого оператора Гамильтона («набла»), который, например, в декартовой системы координат определяется как

, (1.1)

где – единичные векторы декартовой системы координат.

Это символическое обозначение дифференциальной операции, которую можно произвести как над скалярной , так и над векторной функцией. В первом случае имеем

. (1.2)

Во втором, используя формальное правило скалярного произведения

, (1.3)

или векторного произведения в декартовой системе координат

, (1.4 а)

в цилиндрической системе координат

, (1.4 б)

в сферической системе координат

. (1.4 в)

Оператор Гамильтона является, таким образом, удобным средством представления операций векторного анализа, в частности,

. (1.5)

Оператор называется оператором Лапласа. Его очевидным образом можно применять и к векторным функциям.

1.1.2. Векторные тождества. Векторные тождества играют важную роль при выводе различных соотношений, вытекающих из уравнений Максвелла. Следующие четыре тождества векторного анализа, вывод которых достаточно прост, имеют значение правил дифференцирования произведения функций ( - скалярные функции):

, (1.5а)

, (1.5б)

, (1.5в)

. (1.5г)

Следующие тождества будут также использованы далее:

, (1.6a)

. (1.6б)