Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: или, где– независимая переменная; неизвестная функция и ее производная.
Учитывая, что уравнение первого порядка можно записать в форме:.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , где– произвольная постоянная, удовлетворяющая условиям:
Для любого значения она является решением уравнения;
При любом допустимом начальном условии найдется такое значение, что.
Если общее решение не представлено в явном виде, то оно называется общим интегралом.
Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего заданному начальному условию , называетсязадачей Коши.
Пример. Дана задача Коши . Найти частное решение.
Решение: Общее решение имеет вид
, .
Подставляем начальные условия:
Получим, что частное решение данной задачи Коши .
Ответ: .
Теорема Коши о существовании и единственности решения. Пусть дано дифференциальное уравнение . Если функцияи ее частная производнаянепрерывны в некоторой областиплоскости, то в некоторой окрестности любой внутренней точкиэтой области существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиюпри.
Геометрически общее решение представляет собой однопараметрическое семейство интегральных кривых на плоскости . Частное решение – одна из кривых этого семейства, проходящая через точку.