Задания

Задание 1.1

Задана поверхность:

1.1а.

1.1б. .

1.1в. .

1.1г. .

1.1д. .

1.1е. .

1.1ж. .

Найти аналитически и вычислить его в точке (x=0, y=0). Далее, используя MATLAB, построить профиль этой поверхности, контура равных значений функции z (линии уровня) и начертить поле . Графическое построение проводить в интервалах , с шагом по осям x и y равным 0.2. Графики выводятся в одном окне.

Решение 1.1а (стр.40, пример 1.13)

; в точке (x=0, y=0).

Используем MATLAB. Для создания рисунков используются функции “contour” и “quiver” .

% Очистка памяти от переменных

clear;

% Очистка фигуры

clf;

% Интервал построения поверхности, поля и линий уровня

surf_min = -2;

surf_max = 2;

% Шаг построения поверхности

surf_step = 0.2;

% Шаг построения градиента

gradient_step = 0.2;

% Сетка для построения поверхности

[x, y] = meshgrid(surf_min: surf_step: surf_max, ...

surf_min: surf_step: surf_max);

% Сетка для построения градиента

[xx, yy] = meshgrid(surf_min: gradient_step: surf_max,...

surf_min: gradient_step: surf_max);

z = exp (-x .^ 2 - y .^ 2);

zz = exp (-xx .^ 2 - yy .^ 2);

[u, v] = gradient (zz, gradient_step);

% Оформление графиков

whitebg ('white')

% Вывод поверхности

subplot (2, 1, 1)

surf (x, y, z)

axis equal

axis off

view (-30, 20)

text (-4.5, -2, 3, '(a)', 'fontsize', 18)

% Вывод градиента

subplot (2, 1, 2)

contour (x, y, z, 5)

hold on

axis square

quiver (xx , yy, u, v)

axis equal

axis off

hold off

text (-4, 0, '(b)', 'fontsize', 18)

% Тестирование

% Точка, в которой проверяем значение градиента

test_indexes = [7, 8];

test_x = xx(test_indexes(1), test_indexes(2));

test_y = yy(test_indexes(1), test_indexes(2));

% Значение градиента, рассчитанное с помощью функции gradient

gradient_x = u(test_indexes(1), test_indexes(2));

gradient_y = v(test_indexes(1), test_indexes(2));

% Значение градиента, рассчитанное аналитически

analytical_x = -2 * test_x * exp (-(test_x ^ 2 + test_y ^ 2) );

analytical_y = -2 * test_y * exp (-(test_x ^ 2 + test_y ^ 2) );

fprintf ('x = %.10f y = %.10f\n', test_x, test_y );

fprintf ('analytical_x = %.10f analytical_y = %.10f\n', ...

analytical_x, analytical_y );

fprintf ('gradient_x = %.10f gradient_y = %.10f\n', ...

gradient_x, gradient_y );

Длина стрелок и их ориентация соответствуют распределению поля в пространстве.

Задание 1.2

Задано векторное поле в цилиндрической системе координат:

1.2а. , ;

1.2б. , ;

1.2в. , ;

1.2г. , .

1.2д. , ;

1.2е. , ;

1.2ж. , .

Найти аналитически и, используя MATLAB, дивергенцию ; построить векторное поле a и контура равных значений дивергенции . Графическое построение проводить в интервалах , с шагом по осям x и y равным 0.5. Графики выводятся в одном окне.

Решение 1.2а. (стр.44, пример 1.15)

В цилиндрической системе координат: .

Для рис. 1.1 а) - г) имеем

= .

Используем MATLAB. Для вычисления дивергенцию использовать команду “divergence” (при этом необходимо перейти в декартову систему координат, учитывая, что ), а для создания рисунков – команды “quiver” и “contour”.

% Очистка памяти и фигуры

clear;

clf;

% Константа из задания

alpha = 3;

% Интервал построения графиков и шаг

mesh_min = -2;

mesh_max = 2;

mesh_step = 0.2;

% Создать двумерную сетку в заданных интервалах

[x,y] = meshgrid (mesh_min : mesh_step : mesh_max, ...

mesh_min : mesh_step : mesh_max);

% Расчет заданной функции

r2 = x .^ 2 + y .^ 2;

Ax = exp(-r2 ./ alpha .^ 2) .* x;

Ay = exp(-r2 ./ alpha .^ 2) .* y;

% Расчет дивергенции средствами MATLAB

D = divergence(x, y, Ax, Ay);

subplot (2, 1, 1)

quiver(x, y, Ax, Ay)

axis equal

axis off

text(-4, 0, '(a)','fontsize', 18)

subplot (2, 1, 2)

hold on

axis square

contour (x, y, D, 5)

axis equal

hold off

text(-4, 0, '(b)','fontsize', 18)

set(gca,'fontsize', 18)

% Тестирование

% Точка, в которой проверяем значение дивергенции

test_indexes = [7, 8];

test_x = x(test_indexes(1), test_indexes(2));

test_y = y(test_indexes(1), test_indexes(2));

test_r2 = test_x ^ 2 + test_y ^ 2;

% Значение дивергенции, рассчитанное с помощью функции divergence

test_div = D(test_indexes(1), test_indexes(2));

% Значение дивергенции, рассчитанное аналитически

analytical_div = 2 * exp (-test_r2 / (alpha ^ 2)) * ...

(1 - test_r2 / (alpha ^ 2) );

fprintf ('x = %.10f y = %.10f\n', test_x, test_y );

fprintf ('analytical_div = %.10f\n', ...

analytical_div);

fprintf ('test_div = %.10f\n', ...

test_div);

Длина стрелок и их ориентация соответствуют распределению векторного поля a в пространстве.

Задание 1.3

Задано векторное поле в цилиндрической системе координат:

1.3а. , ;

1.3б. , ;

1.3в. , ;

1.3г. , ;

1.3д. , ;

1.3е. , ;

1.3ж. , ;

Найти аналитически и, используя MATLAB (при этом необходимо перейти в декартову систему координат, учитывая, что ) ротор ; построить векторное поле ; и контура равных значений z-компоненты ротора . Графическое построение проводить в интервалах , с шагом по осям x и y равным 0.2. Графики выводятся в одном окне.

Решение 1.3а. (стр.48, пример 1.17)

В цилиндрической системе координат:

Используем MATLAB. Для вычисления ротора использовать команду “curl”, а для

clear;

clf;

alpha = 3;

beta = 1;

mesh_min = -2;

mesh_max = 2;

mesh_step = 0.2;

[x,y] = meshgrid (mesh_min : mesh_step : mesh_max, ...

mesh_min : mesh_step : mesh_max);

r2 = x .^ 2 + y .^ 2;

Ax = -exp(-r2 / alpha .^ 2) .* y * beta;

Ay = exp(-r2 / alpha .^ 2) .* x * beta;

C = curl(x, y, Ax, Ay);

subplot(2, 1, 1)

quiver(x, y, Ax, Ay)

axis equal

axis off

text(-4, 0, '(a)', 'fontsize', 18)

subplot(2, 1, 2)

hold on

axis square

contour(x, y, C, 5)

axis equal

hold off

text(-4, 0, '(b)', 'fontsize', 18)

% Тестирование

% Точка, в которой проверяем значение ротора

test_indexes = [7, 8];

test_x = x(test_indexes(1), test_indexes(2));

test_y = y(test_indexes(1), test_indexes(2));

test_r2 = test_x ^ 2 + test_y ^ 2;

% Значение ротора, рассчитанное с помощью функции curl

test_curl = C(test_indexes(1), test_indexes(2));

% Значение ротора, рассчитанное аналитически

analytical_curl = 2 * beta * exp (-test_r2 / (alpha ^ 2)) * ...

(1 - test_r2 / (alpha ^ 2) );

fprintf ('x = %.10f y = %.10f\n', test_x, test_y );

fprintf ('analytical_curl = %.10f\n', ...

analytical_curl);

fprintf ('test_curl = %.10f\n', ...

test_curl);

Длина стрелок и их ориентация соответствуют распределению векторного поля в пространстве.

Задание 1.4

Даны вектора .

1.4а.

1.4б.

1.4в.

1.4г.

1.5д.

1.5е.

1.5ж.

1.5з.

1.5и.

1.5к.

1.5л.

1.5м.

Используя MATLAB вычислить . Найти модуль и единичный орт . Построить и обозначить на рисунке все вектора.

Решение 1.4а. (стр. 7, пример 1.1)

Сумма ; длина ; .

Используем MATLAB, дополнив обозначением осей и заголовком. Для построения векторов используется функция «arrow3» из файла arrow3.m.

clear;

clf;

zero = [0, 0];

a = [3, 0];

b = [0, 3];

c = a + b;

daspect([1 1 1])

arrow3 (zero, a, 'k2', 0.15);

hold on

arrow3 (zero, b, 'k2', 0.15);

arrow3 (zero, c, 'k2', 0.15);

hold off

grid on

xlim ([-1, 4]);

ylim ([-1, 4]);

text(2.5, -0.2, '$$\vec a$$', 'fontsize', 12, 'Interpreter', 'latex')

text(-0.4, 2.8, '$$\vec b$$', 'fontsize', 12, 'Interpreter', 'latex')

text(2.2, 2.8, '$$\vec c$$', 'fontsize', 12, 'Interpreter', 'latex')

xlabel ('x');

ylabel ('y');

title ('$$\vec c = \vec a + \vec b$$', 'Interpreter', 'latex', 'fontsize', 12)

Задание 1.5.

Даны два вектора в декартовой системе координат.

1.5а.

1.5б.

1.5в.

1.5г.

1.5д.

1.5е.

1.5ж.

1.5з.

1.5и.

1.5к.

1.5л.

1.5м.

Найти аналитически, затем с помощью MATLAB и сравнить результаты:

– скалярное произведение

– угол между двумя векторами

– скалярное произведение

– векторное произведение (построить на графике)

Для построения векторов используется функция «arrow3» из файла arrow3.m.

Решение 1.5а. (стр.21, пример 1.7)

Скалярное произведение . В MATLAB команда « ».

Угол между двумя векторами .

В MATLAB команда « ».

Скалярное произведение . В MATLAB команда « ».

Векторное произведение

. В MATLAB команда « ».

Используем MATLAB

clear;

clf;

A = [3 4 0];

B = [12 5 0];

scalar_product = dot(A,B)

angle = acos(scalar_product / (norm(A) * norm(B))) * 180 / pi

magnitude = dot(A,A)

cross_product = cross(A,B)

daspect([1 1 10])

hold on

arrow3 ([0 0 0], A, 'k2', 2);

arrow3 ([0 0 0], B, 'k2', 2);

arrow3 ([0 0 0], cross_product, 'k2', 2);

hold off

grid on

box on

text (1.5, 3.5, 0.5, '$$\vec a$$', 'fontsize', 22, 'Interpreter', 'latex')

text (11.5, 4, 0.5, '$$\vec b$$', 'fontsize', 22, 'Interpreter', 'latex')

text (0.5, 0, -26, '$$\vec c$$', 'fontsize', 22, 'Interpreter', 'latex')

Задание 1.6.

Записать вектор в цилиндрической системе координат. Используя MATLAB показать на рисунке единичные базисные вектора декартовой и цилиндрической систем.

а.

б.

в.

г.

д.

е.

ж.

Решение 1.6. (стр.24, фигура 1.12)

. Поскольку , то .

Аналогично ,

Используем MATLAB

% Очистка переменных и фигуры

clear;

clf;

% Заданный вектор a

a = [3, 2, 4];

r = (9 + 4) ^ (1/2);

phi = atan (2 / 3);

% Размер шрифта для надписей

fontsize = 14;

hold on

% Рисуем заданный вектор a

arrow3([0 0 0], a, 'k2', 0.2)

text(2, 1, 2, 'a', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем часть отружности (дугу)

iter = 1: 100;

z = zeros (100, 1);

x = r .* cos (((iter - 1) / 100) .* phi);

y = r .* sin (((iter - 1) / 100) .* phi);

plot3 (x, y, z, 'LineWidth', 2)

% Рисуем вектор phi_0 для цилиндрической системы координат

arrow3(a, [3 - cos(phi), 2 + sin(phi), 4], 'k2', 0.2)

text(1.2, 0.5, 2.8, '\phi_0', 'fontweight', 'bold', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем вектор rho_0 для цилиндрической системы координат

arrow3(a, [3 + cos(phi), 2+sin(phi), 4], 'k2', 0.2)

text(3.0, 0.5, 3.5, '\rho_0', 'fontweight', 'bold', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем вектор z_0 для цилиндрической системы координат

arrow3(a, [3 2 5], 'k2', 0.2)

text(2.6, 2, 5, 'z_0', 'fontweight', 'bold', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем вектор x_0 для декартовой системы координат

arrow3([0 0 0], [1 0 0], 'k2', 0.2)

text(1.1, 0.1, 0.7, 'x_0', 'fontweight', 'bold', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем вектор y_0 для декартовой системы координат

arrow3([0 0 0], [0 1 0], 'k2', 0.2)

text(.1, 1, 0.5, 'y_0', 'fontweight', 'bold', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем вектор z_0 для декартовой системы координат

arrow3([0 0 0], [0 0 1], 'k2', 0.2)

text(.1, .3, 1,'z_0', 'fontweight', 'bold', 'fontsize', fontsize)

% Рисуем проекции вектора a

line ([0 3], [0 2], [4 4], 'LineWidth', 2, 'linestyle', '--')

line ([0 3], [0 2], [0 0], 'LineWidth', 2, 'linestyle', '--')

line ([3 3], [2 2], [0 4], 'LineWidth', 2, 'linestyle', '--')

% Рисуем оси в декартовой системе координат

line ([0 5], [0 0], [0 0], 'LineWidth', 2)

line ([0 0], [0 5], [0 0], 'LineWidth', 2)

line ([0 0], [0 0], [0 5], 'LineWidth', 2)

% Обозначаем угол phi

text(1.2, 0.3, 0, '\phi', 'fontsize', fontsize)

% Названия осей

xlabel('x', 'fontsize', fontsize)

ylabel('y', 'fontsize', fontsize)

zlabel('z', 'fontsize', fontsize)

% Настройки внешнего вида графика

axis([0, 5, 0, 5, 0, 5])

grid

axis equal

set (gca,'fontsize', fontsize)

set(gca, 'XTick', 0: 1: 5)

set(gca, 'YTick', 0: 1: 5)

set(gca, 'ZTick', 0: 1: 5)

view(-37.5 - 180, 20)